江西省名校2021-2022学年高一下学期数学期中调研试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. $z = \frac{4 - 5 i}{i^{3}} =$ （）

A、 $5 + 4 i$ B、 $5 - 4 i$ C、 $- 5 + 4 i$ D、 $- 5 - 4 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (t ， - 2)$ ， $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{2}$ ，则实数 $t =$ （）

A、6 B、3 C、 $- \frac{4}{3}$ D、-3

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3. 扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $\cos C = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $c =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 已知 $t a n θ = 4$ ，则 $\frac{2 c o s θ - s i n θ}{c o s θ + 2 s i n θ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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6. 如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是该平面所有向量的一组基底， $\vec{A D} - \vec{A B} + \vec{C B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是该平面所有向量的一组基底， $\vec{A D} - \vec{A B} + \vec{C B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不是该平面所有向量的一组基底， $\vec{A D} - \vec{A B} + \vec{C B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不是该平面所有向量的一组基底， $\vec{A D} - \vec{A B} + \vec{C B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

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7. 某工厂的烟囱如图所示，底部为 $A$ ，顶部为 $B$ ，相距为 $l$ 的点 $C$ ， $D$ 与点 $A$ 在同一水平线上，用高为 $h$ 的测角工具在 $C$ ， $D$ 位置测得烟囱顶部 $B$ 在 $C_{1}$ 和 $D_{1}$ 处的仰角分别为 $α$ ， $β$ .其中 $C_{1}$ ， $D_{1}$ 和 $A$ 在同一条水平线上， $A_{1}$ 在 $A B$ 上，则烟囱的高 $A B =$ （）

A、 $\frac{l s i n α c o s β}{s i n (β - α)} + h$ B、 $\frac{l c o s α c o s β}{s i n (β - α)} + h$ C、 $\frac{l c o s α s i n β}{s i n (β - α)} + h$ D、 $\frac{l s i n α s i n β}{s i n (β - α)} + h$

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8. 已知函数 $f (x) = A s i n ω x c o s φ + A c o s ω x s i n φ (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，先将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (x - \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (x - \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (4 x + \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = \sqrt{2} c o s (4 x - \frac{5 π}{6})$

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二、多选题

9. 设 $m \in R$ ， $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m + 2) + (m - 2) i$ .则下列说法正确的是（）

A、若 $z$ 为实数，则 $m = 2$ B、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = - 2$ C、当 $m = 1$ 时，在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z (3 ， 1)$ D、 $| z |$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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10. 下列式子的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $s i n 750 °$ B、 $s i n 75 ° c o s (- 75 °)$ C、 $\frac{s i n 80 °}{1 + c o s 80 °}$ D、 $c o s 82 ° c o s 22 ° + c o s 8 ° s i n 22 °$

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11. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $\vec{O A} = (1 ， 1)$ ， $\vec{O B} = (- 2 ， 2)$ ，点 $C (x ， y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{B A} = (3 ， - 1)$ B、若 $O A C B$ 是平行四边形，则 $x = - 1$ ， $y = 3$ C、若 $C$ 为 $△ O A B$ 的重心，则 $x = - \frac{1}{3}$ ， $y = 1$ D、若 $x = 5$ ， $y = 0$ ，则向量 $\vec{O B}$ 在向量 $\vec{O C}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{5} \vec{O C}$

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12. 已知函数 $h (x) = \sqrt{| s i n x |} + \sqrt{| c o s x |}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $h (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 B、 $h (x)$ 的图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{2}$ C、 $h (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $h (x)$ 的最大值为 $2^{\frac{3}{4}}$

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三、填空题

13. 化简 $\frac{s i n (\frac{π}{6} + α) - s i n (\frac{π}{6} - α)}{s i n α} =$

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14. 已知角 $θ (- \frac{π}{2} < θ < 0)$ 的终边上有一点 $M (1 ， - 3 \sqrt{7})$ ，则 $c o s \frac{θ}{2} =$ .

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15. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 1 - i | = 2$ ，则 $| z |$ 的最大值为.

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16. 如图所示，扇形 $B A C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上运动（包括端点 $B$ 、 $C$ ），且满足 $\vec{A M} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的两复数根分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，其中 $z_{1}$ 的虚部大于0

(1)、求复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；

(2)、若复数 $z_{3} = a + 4 i$ ，且 $| z_{3} - z_{1} z_{2} | < 2 \sqrt{5}$ ，求实数 $a$ 的取值范围

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18.

(1)、证明： $\frac{s i n (\frac{π}{2} - 2 x)}{1 + s i n (π + 2 x)} = \frac{1 + t a n x}{1 - t a n x}$

(2)、求值： $t a n 12 ° t a n 33 ° + t a n 12 ° + t a n 33 °$

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(b - 2 a) c o s C + c c o s B = 0$
请在① $b = 2$ ， ② $c = \sqrt{7}$ ， ③ $a = c$ 这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题

注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分.

(1)、已知_______，计算 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $c = 5$ 时，求 $△ A B C$ 的周长的最大值.

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20. 已知角 $α$ 为锐角， $\frac{π}{2} < β - α < π$ ，且满足 $t a n \frac{α}{2} = \frac{1}{3}$ ， $s i n (β - α) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

(1)、证明： $0 < α < \frac{π}{4}$ ；

(2)、求 $β$ .

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A Q$ 为边 $B C$ 的中线， $\vec{A P} = \frac{2}{5} \vec{A Q}$ ，过点 $P$ 作直线分别交边 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ ，其中 $λ > 0$ ， $μ > 0$

(1)、当 $\vec{M N} ∥ \vec{B C}$ ，用 $\vec{A M}$ ， $\vec{A N}$ 线性表示 $\vec{A Q}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s 2 x + s i n 2 x + 1$

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $g (x) = f (- \frac{a}{2} x + \frac{π}{4}) - 1$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 上没有零点，求正实数 $a$ 的取值范围

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