江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ C、 ${\vec{a}}^{2} \neq {\vec{b}}^{2}$ D、 $| \vec{a} |^{2} = | \vec{b} |^{2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 5$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A B}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

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5. 一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（）

A、6π B、12π C、 $8 \sqrt{6} π$ D、24π

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6. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，且 $s i n (α - β) = - \frac{3}{5}$ ， $s i n β = \frac{12}{13}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{56}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $- \frac{16}{65}$

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7. 某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高 $B C = 100$ 米，则山高MN等于（）

A、 $100 \sqrt{3}$ B、 $100 \sqrt{2}$ C、200 D、 $200 \sqrt{3}$

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8. 在边长为2的等边△ABC中，D为AC的中点，M为AB边上一动点，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{11}{8}$ C、2 D、 $\frac{23}{16}$

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二、多选题

9. 圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A、 $\frac{24}{π} c m^{3}$ B、 $24 π c m^{3}$ C、 $\frac{36}{π} c m^{3}$ D、 $36 π c m^{3}$

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10. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\bar{z_{1}}$ 是 $z_{1}$ 的共轭复数，则以下结论正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、若 $| z_{1} | + | z_{2} | = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ ，且 $z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ D、若 $z_{3} = z_{1} \cdot z_{2}$ ，则 $| z_{3} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$

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11. 下列计算正确的是（）

A、 $s i n 72 ° s i n 78 ° - c o s 72 ° s i n 12 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °} = 1$ C、 $c o s^{4} \frac{π}{8} - s i n^{4} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $c o s^{2} 75 ° + c o s^{2} 15 ° + c o s 15 ° s i n 15 ° = \frac{5}{4}$

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12. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O P} = \vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x ， y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ B、 $| \vec{a} | = \sqrt{7}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 已知△ABC的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，则边BC长是.

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15. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点， $A B = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ， $A A_{1} = 5 c m$ ，打印所用原料密度为 $0.95 g / c m^{3}$ .在不考虑打印损耗的情况下，制作该模型所需原料的质量是g.

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16. 在代数发展史上，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.数学有如下代数基本定理：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数方程 $f (x) = 0$ 至少有一个复数根.进而可得到：一元n项式方程有n个复数根（重根按重数计）.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次方程､一元四次方程的解法，实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 在复数集C内的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}}$ ，实系数一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 在复数集C内的根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{2}}{a_{3}}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a_{1}}{a_{3}}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{a_{0}}{a_{3}}$ ，则方程 $x^{3} - x + 6 = 0$ 的实数根为，虚数根.

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四、解答题

17. 已知复数z满足 $| z | + z = 8 - 4 i$ ， $i$ 为虚数单位.

(1)、求复数z；

(2)、若复数z， $z - 1 + 6 i$ 在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求 $△$ OAB的面积.

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18. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个不同向量，其中 $\vec{a} = (1 ， 2)$ .

(1)、若 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $| \vec{b} | = 2$ ，且 $| k \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{a} - k \vec{b} | (k > 0)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值，并求出此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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19. 某港口海水的深度 $y (m)$ 是时间t（时）（ $0 \leq t \leq 24$ ）的函数，记为 $y = f (t)$ .已知某日海水深度的数据如下：
t（时）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
$y (m)$
9.5
12.5
14
12.5
9.5
8.0
9.5
12.5
14.0
12.5
9.5
8.0
9.5
经长期观察， $y = f (t)$ 的曲线可近似地看成函数 $y = A s i n (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象.

(1)、根据以上数据，求出函数 $y = f (t) = A s i n (ω t + φ) + b$ 的表达式；

(2)、一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 $m$ 或5 $m$ 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5 $m$ ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

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20. 在① $c s i n B = b$ ， ② $s i n C = 2 s i n A$ ， ③ $a = c c o s B + \frac{\sqrt{3}}{3} b s i n C$ 这三个条件中，有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解.
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 2$ ， $b = 3$ ， ____.

(1)、求角C；

(2)、若M是AB边上的一点，且 $A M = 2 M B$ ，求CM的长.

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21. 如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地 $A O B$ （圆心角为 $\frac{π}{3}$ ）和 $C O D$ （圆心角为 $\frac{π}{2}$ ）， $B D$ 为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域 $O E F G$ ，一块为平行四边形区域 $M N P Q$ ，已知圆的直径 $P F = 2$ 百米，且点 $P$ 在劣弧 $A B$ 上（不含端点），点 $Q$ 在 $O A$ 上､点 $G$ 在 $O C$ 上､点 $M$ 和 $N$ 在 $O B$ 上､点 $E$ 在 $O D$ 上，记 $∠ B O P = θ$ .

(1)、经设计，当 $O E - \frac{1}{2} M N$ 达到最大值时，取得最佳观赏效果，求 $θ$ 取何值时， $O E - \frac{1}{2} M N$ 最大，最大值是多少？

(2)、设矩形 $O E F G$ 和平行四边形 $M N P Q$ 面积和为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时 $c o s 2 θ$ 的值.

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22. 若已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x)$ ， $\vec{b} = (c o s x + 2 \sqrt{3} s i n x ， - s i n x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $α \in (\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} [f (x - \frac{π}{12}) + a f (\frac{x}{2} - \frac{π}{12}) - a f (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})] - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上的最大值为2，求实数a的值.

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t（时）	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
$y (m)$	9.5	12.5	14	12.5	9.5	8.0	9.5	12.5	14.0	12.5	9.5	8.0	9.5