江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算 $\frac{1 + 3 i}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2. 已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - 2)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. $s i n 74 ° c o s 14 ° - c o s 74 ° s i n 14 °$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 15 ， A C = 10 ， A = 6 0^{∘}$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{c} = (2 ， 1)$ ，且 $(\vec{a} - λ \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、6 B、 $\frac{1}{6}$ C、7 D、 $\frac{1}{7}$

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6. 已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = z + a \cdot i$ ( $i$ 为虚数单位)，且 $| z | = \sqrt{2}$ ，则正数 $a$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）

A、 $\frac{320}{16 0^{2} - 1}$ B、 $\frac{1}{160}$ C、 $\frac{160}{8 0^{2} - 1}$ D、 $\frac{1}{80}$

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8. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - θ) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} + 2 θ) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{7 - 4 \sqrt{6}}{18}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6} - 7}{18}$

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二、多选题

9. 对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（）

A、 $\vec{A B} = \vec{B C}$ B、 $| \vec{A B} | = | \vec{B C} |$ C、 $| \vec{A B} - \vec{C D} | = | \vec{A D} + \vec{B C} |$ D、 $| \vec{A D} + \vec{C D} | = | \vec{C D} - \vec{C B} |$

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10. 下面是关于复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z - z^{2} = 1 + i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、 $z$ 的虚部为1

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11. 八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{O D} / / \vec{A C}$ B、∠EAD=30° C、 $\vec{B G} ⊥ \vec{B C}$ D、 $| \vec{A D} | = 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

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12. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 4 ， B C = \sqrt{13} ， D$ 在 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $E$ 为 $A C$ 中点，下列结论正确的是（）

A、 $B E = \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $A D = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $P$ 在 $△ A B E$ 的外接圆上，则 $P B + 2 P E$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$

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三、填空题

13. 设复数z满足 $(1 + i) z = 2 - i$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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14. 已知 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ ；

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15. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $A B = 5$ ，则 $B C =$ .

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16. 如图，平面向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 的夹角是60°，| $\vec{A B}$ |＝4，| $\vec{A C}$ |＝2，平面内任意一点E关于点B对称点为F，点F关于点C的对称点为点G，则 $\vec{E G}$ ⋅ $\vec{A B}$ ＝．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = m + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $z_{1} - 2 z_{2}$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面上对应的点在第二象限，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， m) (m \in R)$

(1)、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求m的值；

(2)、若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求m的值．

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19. 已知 $\frac{π}{2} < α < π ， c o s α = - \frac{4}{5}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $\frac{2 s i n^{2} α + s i n 2 α}{c o s 2 α}$ ；

(2)、 $t a n (α - \frac{3}{4} π)$ ．

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20. 从下列二个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答：
① $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ ；② $(a + c + b) (a + c - b) = 3 a c$ ；
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件____．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 4 ， S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，求b的值．

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21. 如图，校园内一块闲置空地，形状为平面四边形 $A B C D$ ，学校为了美化校园环境，打算在三角形 $A B D$ 区域内种植花卉，在三角形 $B C D$ 区域内种植绿草.为方便学生观赏通行，学校规划处计划在空地中间修一条观赏长廊 $B D$ （不考虑长廊的宽度），现测量数据为： $∠ A B C = \frac{2 π}{3} ， ∠ A D C = \frac{π}{3} ， B C = 40 m$ ， $A B = 20 m ， A D = 20 m$

(1)、求种植花卉和绿草地的总面积.

(2)、求观赏长廊 $B D$ 的长度.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值

(2)、在锐角△ABC中，f（ $\frac{A}{2}$ ）= $\frac{3}{2}$ ，且a= $\sqrt{3}$ ，求b+c取值范围.

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