吉林省长春市农安县2021-2022学年高一下学期数学学情调研试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{a - 2 i}{1 + 2 i}$ （ $a \in R$ ）在复平面上对应的点不可能位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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3. 若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个不共线的向量，已知 $\vec{M N} = \vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{P N} = 2 \vec{a} + k \vec{b} ， \vec{P Q} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $M ， N ， Q$ 三点共线，则 $k =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 下列关于棱柱的说法错误的是（）

A、所有的棱柱两个㡳面都平行 B、所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D、棱柱至少有5个面

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5. 现从中小学生中抽取部分学生进行一次肺活量调查，据了解，某地小学､初中､高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单随机抽样 B、按性别分层随机抽样 C、按学段分层随机抽样 D、按肺活量分层随机抽样

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边的长分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{6}{5} b c$ ，则 $sin (B + C)$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 $| x - y |$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |})$ ， $λ \in [0 ， + \infty)$ ，则P的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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二、多选题

9. 为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数，将数据整理绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）

A、该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数的估计值为25 B、该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数的估计值为 $27.5$ C、该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320 D、该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32

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10. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下面四个命题中假命题是（）

A、若 $α ⊥ β ， β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ γ$ B、若 $α ⊥ β ， m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ∥ α ， n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $α ∥ β ， γ \cap α = m ， γ \cap β = n$ ，则 $m ∥ n$

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11. △ABC内角A B C 对边分别是a，b，c．已知a= $\sqrt{2}$ ，b=2， $∠ A$ =30 $°$ ，则 $∠ B$ 可以是（）

A、45 $°$ B、60 $°$ C、120 $°$ D、135 $°$

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12. 如图，在平面四边形ABCD中，等边 $△ A B C$ 的边长为2， $∠ A D C = 3 0^{∘}$ ， $A C ⊥ C D$ ，点M为边上一动点，记 $λ = \overset{⇀}{D M} \cdot \overset{⇀}{C M}$ ，则 $λ$ 的取值可以是（）

A、-4 B、 $\frac{15}{4}$ C、5 D、10

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三、填空题

13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为.

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14. 设 $\frac{x}{1 + i} = \frac{3}{2 - i} + \frac{y}{1 - i} ，$ （ $x ， y \in R ， i$ 为虚数单位），则 $x + y =$ .

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15. 已知 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， 1) ， \vec{c} = \vec{a} + λ \vec{b}$ ，若 $\vec{a}$ 和 $\vec{c}$ 的夹角是锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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16. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 $A$ ，种植了这种小麦25亩，所得亩产量数据（单位：千克）如下：
357，359，367，368，375，388，392，399，400，405 ，

412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，

443，445，445，451，454.

则该组数据的第75百分位数为.

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四、解答题

17. 已知：复数 $z = l o g_{2} (x^{2} - 3 x - 3) + i l o g_{2} (x - 3)$ ，其中x∈R.求证：复数 $z$ 不可能是纯虚数.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b = \sqrt{7}$ ， $c = 4 ， 2 c o s (B - \frac{π}{2}) + \sqrt{7} s i n C = 3 .$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $C$ 为锐角，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图所示，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3 ， A A_{1} = 4 ， M$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $C C_{1}$ 到 $M$ 的最短距离为 $\sqrt{29}$ ，设这条最短路线与 $C C_{1}$ 的交点为 $N$ ，求：

(1)、该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；

(2)、 $P C$ 与 $N C$ 的长；

(3)、此三棱柱的表面积.

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20. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以 $[160 ， 180) ， [180 ， 200) ， [200 ， 220) ， [220 ， 240) ， [240 ， 260) ， [260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 分组的频率分布直方图如下图：

(1)、求直方图中 $x$ 的值；

(2)、求月平均用电量的平均数；

(3)、在月平均用电量为 $[220 ， 240) ， [240 ， 260) ， [260 ， 280) ， [280 ， 300]$ 的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为 $[220 ， 240)$ 的居民中应抽取多少户？

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、若异面直线 $A C$ 和 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，求四棱锥 $B - A A_{1} C_{1} D$ 的体积.

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.

(1)、设 $\vec{B O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，求 $\frac{A B}{A C}$ 的值.

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