浙江省精诚联盟2022-2023学年高一下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2023-03-23 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知 $A (1 ， 1) ， B (- 2 ， 2)$ ， O是坐标原点，则 $\vec{A B} + \vec{O A} =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(3 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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2. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（）

A、1－3i B、3－i C、3＋i D、－1＋3i

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4. 函数 $f (x) = \frac{s i n x}{1 + c o s x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{13}}{13} ， - \frac{3 \sqrt{13}}{13})$ B、 $(- \frac{2}{5} ， \frac{1}{5})$ C、 $(- \frac{2 \sqrt{13}}{13} ， \frac{3 \sqrt{13}}{13})$ D、 $(\frac{2}{5} ， - \frac{1}{5})$

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6. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了 $△ A B D$ ，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算 $\cos ∠ A C D$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$

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7. 如图，在边长为4的等边 $△ A B C$ 中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{E C}$ =（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{17}{6}$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、3

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8. 若 $α \in [\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ ， $θ \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ， $λ \in R$ ，且 ${(α - \frac{5 π}{6})}^{3} - \cos (α - \frac{π}{3}) - 4 λ = 0$ ， $θ^{3} + \sin θ + 4 λ = 0$ ，则 $\sin (α + θ)$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、复数 $- 2 - i$ 的虚部为 $- i$ C、若复数 $z$ 为纯虚数，则 $| z |^{2} = z^{2}$ D、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$

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10. 已知 $△ A B C$ 中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 5$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为10 C、若 $a = 2 b \cos C$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x$ ， $ω > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $ω = 2$ ，则将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 B、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， 3]$ D、当 $ω = 3$ 时， $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且只有3个零点

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12. 已知平面向量 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $3 | \vec{a} | - 2 | \vec{b} |$ 的可能值为（）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13. 在 $△ A B C$ 中， $A = 15^{°}$ ， $B = 45^{°}$ ， $A B = \sqrt{6}$ ，则 $A C =$ ．

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14. 复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 满足 $z_{1} = m + (4 - m^{2}) i$ ， $z_{2} = 2 \cos θ + (λ + 3 \sin θ) i (m ， λ ， θ \in R)$ ，若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $λ$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x) = 3 cos x + 4 sin x$ ，当 $\tan x =$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，动点 $P$ 在 $△ A B C$ 内且满足 $\vec{B P} \cdot \vec{B C} = \vec{P C} \cdot \vec{B C}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (3 ， λ)$ ．

(1)、若 $\vec{c} ∥ \vec{a}$ ，求 $| \vec{c} |$ 的值；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求 $k$ 的值．

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18. 已知复数z=m＋2i是方程 $x^{2} + 6 x + 13 = 0$ 的根（i是虚数单位，m∈R）

(1)、求|z|：

(2)、设复数 $z_{1} = \frac{a - i^{2023}}{\bar{z}}$ ，（ $\bar{z}$ 是z的共复数），且复数 $z_{1}$ 所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．

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19. 已知在 $△ A B C$ 中， $N$ 是边 $A B$ 的中点，且 $4 \vec{B M} = \vec{B C}$ ，设 $A M$ 与 $C N$ 交于点 $P$ ．记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{C N}$ ；

(2)、若 $2 | \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{C P} ⊥ \vec{A B}$ ，求 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 的余弦值．

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20. 已知角 $θ$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ．将 $O P$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后与角 $α$ 的终边重合．

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $\sin (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos β$ 值．

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21. 在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．
① $\sqrt{3} c \sin A - a \cos C - 2 a = 0$ ；② $\cos A + (\cos B + \sqrt{3} \sin B) \cos C = 0$ ；③ $\frac{\tan C}{\tan B} = \frac{- b - 2 a}{b}$ ；

已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为 $A B$ 边上的一点，______．

(1)、求角C；

(2)、若 $C D$ 为角平分线，且 $C D = 1$ ，求 $a + b$ 最小值．

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22. 后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 $A O B$ 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 $P$ 在弧AB上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在线段 $O A$ 和线段 $O B$ 上，且 $O A = 90 cm$ ， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ．记 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时，S取得最大值；

(2)、记 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，若 $t = x + μ y (μ > 0)$ 存在最大值，求 $μ$ 的取值范围．

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