沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式应用同步练习

试卷更新日期：2023-03-22 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如果x²+kx+64是一个整式的平方，那么k的值是（）

A、8 B、-8 C、8或-8 D、16或-16

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2. 已知 $4 x^{2} - 2 (k - 1) x + 1$ 是一个完全平方式，则k的值为（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、1或－3 D、－1或3

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3. 给出一列式子：x²y，− $\frac{1}{2}$ x4y2 ， $\frac{1}{4}$ x6y3 ， − $\frac{1}{8}$ x8y4 ， …，根据其蕴含的规律可知这一列式子中的第8个式子是（　　）

A、 $\frac{1}{64}$ x¹⁶y⁸ B、- $\frac{1}{64}$ x¹⁴y⁸ C、- $\frac{1}{128}$ x¹⁶y⁸ D、- $\frac{1}{256}$ x¹⁸y⁹

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4. 已知实数a、b满足 $a + b = 0$ ，且 $a b \neq 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 如图的图形面积由以下哪个公式表示（）

A、a²﹣b²=a（a﹣b）+b（a﹣b） B、（a﹣b）²=a²﹣2ab+b² C、（a+b）²=a²+2ab+b² D、a²﹣b²=（a+b)（a﹣b）

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6. 如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　）

A、30 B、32 C、34 D、36

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7. 已知无论x取何值，等式 $(x + a) (x + b) = x^{2} + 2 x + n$ 恒成立，则关于代数式 $a^{3} b + a b^{3} - 2$ 的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于－2，上述结论正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到 $a (a + b) = a^{2} + a b$ ，那么利用图2所得到的数学等式为（）

A、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ B、 ${(a + b + c)}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}$ C、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a$ D、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

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9. 当m为自然数时， $(4 m + 5)^{2} - 9$ 一定能被下列哪个数整除（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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10. 如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（）

A、 $x (x + 4) = x^{2} + 4 x$ B、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ C、 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ D、 $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$

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二、填空题（每空3分，共15分）

11. 若x²﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为．

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12. 已知 $x + y = 6$ ， $x y = 7$ ，那么 ${(3 x + y)}^{2} + {(x + 3 y)}^{2}$ 的值为．

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13. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将右表称为“杨辉三角”．
则① ${(a + b)}^{20}$ 中，第三项系数为；

② ${(a - b)}^{6}$ 展开式为.

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14. 如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足 $a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，图中阴影部分的面积为.

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15. 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i²＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）²＝4+4i+i²＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）²＝.

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三、计算题（共2题，共14分）

16. 运用公式进行简便计算.

(1)、 ${10.2}^{2} - 10.2 \times 2.4 + 1.44$ ；

(2)、 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) ... (1 - \frac{1}{2022^{2}})$ .

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17. 计算：

(1)、 $\sqrt{25} - \sqrt[3]{- 64} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $2 {(x - 1)}^{2} - x (2 x + 1)$ ；

(3)、 $(x + 3) (x - 3) - 3 (x^{2} + x - 3)$ ；

(4)、 $202 2^{2} - 4044 \times 2023 + 202 3^{2}$ （用简便方法）.

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四、解答题（共5题，共41分）

18. 已知 $m^{2} - 5 m - 1 = 0$ ，求 $2 m^{2} - 5 m + \frac{1}{m^{2}}$ 的值．

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19. 已知 $M = x^{2} - 2 x + 4$ ， $N = x^{2} - 4 x + 4$ ，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：

∵ $M = {(x - 1)}^{2} + 3 \geq 3$ ， $N = {(x - 2)}^{2} \geq 0$ ，

∴ $M \geq N$ ．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．

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20. 有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．

(1)、如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．
①方法1：；方法2：；
②请写出 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $4 m n$ 三个代数式之间的等量关系：．

(2)、若 $| a + b - 6 | + | a b - 4 | = 0$ ，求 ${(a - b)}^{2}$ 的值．

(3)、如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式： $m^{2} + 3 m n + 2 n^{2} =$ ．

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21. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以利用完全平方公式，将它变形为 ${(a + b)}^{2}$ 的形式．但是对于一般的二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即 $(\frac{b}{2})^{2}$ ，使其凑成完全平方式，再减去 $(\frac{b}{2})^{2}$ ，使整个式子的值不变，这样就有 $x^{2} + b x + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + m$ ．例如 $x^{2} - 6 x + 1$ ＝ $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 1$ ＝ ${(x - 3)}^{2} - 8$ ．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、将多项式 $x^{2} - 4 x + 3$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式；

(2)、当x，y分别取何值时 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 28$ 有最小值？求出这个最小值；

(3)、若 $m = a^{2} + b^{2} - 1$ ， $n = 2 a - 4 b - 7$ ，则m与n的大小关系是．

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22.

(1)、从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是；

(2)、尝试解决：
①已知： $m + n = 2$ ， $m^{2} + n^{2} = 7$ ，则 $m n$ = ▲ ；

②已知： $2 a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $(2 a - b)^{2}$ 的值；

③已知： $(4 - x) (5 - x) = 6$ ，求 $(4 - x)^{2} + (5 - x)^{2}$ 的值；

(3)、填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，已知 $A + B + C = 411$ .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 .

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