吉林省通化市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $2 - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位）的实部为（）

A、2 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、0

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (- 2, 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-8 B、4 C、7 D、-1

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3. 设复数 $z = 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的模为（）

A、 $1$ B、 $10$ C、 $3$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 球的体积是 $\frac{32 π}{3}$ ，则此球的表面积是（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{64 π}{3}$

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5. 设平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{O A} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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6. 已知平面向量 $\vec{a} = (m + 1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、0 B、-3 C、1 D、-1

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7. 复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a^{2} = b^{2} + b c + c^{2}$ ，则角 $A$ 为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $a = b c o s C$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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10. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（）

A、（30+30 $\sqrt{3}$ ） m B、（30+15 $\sqrt{3}$ ） m C、（15+30 $\sqrt{3}$ ） m D、（15+15 $\sqrt{3}$ ） m

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二、填空题

11. 已知x、 $y \in R$ ，若 $(x - 2) + y i = - 1 + i$ ，则 $x + y =$ ．

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12. 如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为．

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13. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{B D}$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{B A} + μ \overset{⇀}{B C}$ ，则 $λ + μ =$ .

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三、解答题

15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， m)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、若 $m = - 3$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

(3)、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为锐角，求 $m$ 的取值范围.

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16. 已知复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m - 2) i$ （ $m \in R$ ）．

(1)、若复数z为纯虚数，求实数m的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

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17. 设锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 2 b s i n A$ .

(1)、求 $B$ 的大小．

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ ，求 $b$ 及 $△ A B C$ 外接圆半径 $R$ .

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18. 如图所示，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过顶点B，D，A₁截下一个三棱锥.

(1)、求剩余部分的体积；

(2)、求三棱锥A－A₁BD的体积及高.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边.若 $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C .$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{21} ，$ 且 $b = 5 a$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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