河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2021-2022学年高一下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{9 π}{4} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 4$ ， $b = 1$ ， $c o s C = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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3. 已知 $O$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内一点， $D$ 为 $B C$ 边中点﹐且 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，那么（）

A、 $\vec{A O} = \vec{O D}$ B、 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ C、 $\vec{A O} = 3 \vec{O D}$ D、 $2 \vec{A O} = \vec{O D}$

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4. 若 $s i n (π + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (π - α) + c o s (\frac{π}{2} - α) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、-6

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6. 函数y= $\sqrt{2 \cos x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{π}{3}]$ (k∈Z) B、 $[2 k π - \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{π}{6}]$ (k∈Z) C、 $[2 k π + \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{2 π}{3}]$ (k∈Z) D、 $[2 k π - \frac{2 π}{3}, 2 k π + \frac{2 π}{3}]$ (k∈Z)

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7. 要得到函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{2 π}{3})$ 的图像，只需将 $y = c o s 2 x$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度

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8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²-b²⁼ $\sqrt[]{3}$ ac，则角B的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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9. 若函数f（x）=sin（ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（）

A、 $ω = 1 ， θ = \frac{π}{3}$ B、 $ω = 1 ， θ = - \frac{π}{3}$ C、 $ω = \frac{1}{2} ， θ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = \frac{1}{2} ， θ = - \frac{π}{6}$

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10. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4})$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 内单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{4} ， \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{3}{4} ， \frac{5}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{4}]$

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11. 将函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则下面对函数 $y = g (x)$ 的叙述正确的是（）

A、函数 $g (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ B、函数 $g (x)$ 的周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 图像的一个对称中心为点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ D、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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12. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、三边均不相等的三角形

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二、填空题

13. 已知点 $A (1 ， 3) ， B (4 ， - 1)$ ， O为坐标原点，则与向量 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为．

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14. 函数 $f (x) = t a n 2 x$ 的图象的对称中心为．

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15. $\frac{c o s 585 °}{t a n (- 585 °) + s i n (- 570 °)} =$ ．

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16. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为 km．

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三、解答题

17. 设 $A B$ 两点在河的对岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 $A C$ 的距离是 $100 m$ ， $∠ B A C = 75 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，求A，B两点的距离.

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18. 已知O是平面直角坐标系的原点， $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ，记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影数量；

(2)、若四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标；

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19. 已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，记向量 $\vec{m} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b}$ ， $\vec{n} = 2 \vec{a} + k \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，求实数 $k$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 的值域.

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21. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $\vec{B C} \cdot \vec{B A}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，且方程 $f (x) = m$ 有两个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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