河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期数学4月期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $3 + i$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 4 \sqrt{3}$ ， $c = 12$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{3}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥 B、过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径 C、棱锥的侧棱一定相等 D、正三角形的平面直观图一定是等腰三角形

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、8 B、9 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{15}$

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5. 圆台上､下底面半径分别是 $1 ､ 2$ ，高为 $\sqrt{3}$ ，这个圆台的体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $2 \sqrt{3} π$ C、 $7 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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6. 若平面 $α$ ∥平面 $β$ ，直线 $m \subset$ 平面 $α$ ，点 $M \in$ 平面 $β$ ，则过点M且与直线m平行的直线有（）

A、0条或无数条 B、2条 C、0条或1条或无数条 D、1条

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7. 欧拉恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ （ $i$ 为虚数单位， $e$ 为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ 的特例：当自变量 $x = π$ 时， $e^{i x} = c o s π + i s i n π = - 1$ .得 $e^{i π} + 1 = 0$ .根据欧拉公式，复数 $z = e^{i \frac{π}{7}}$ 在复平面上所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线 $C N$ 平行的直线是（）

A、 $D E$ B、 $A B$ C、 $B F$ D、 $B M$

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二、多选题

10. 已知 $△ A B C$ 的重心为 $O$ ，边 $A B ， B C ， C A$ 的中点分别为 $D ， E ， F$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O D}$ B、若 $△ A B C$ 为正三角形，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} + \vec{O C} \cdot \vec{O A} = 0$ C、若 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $O A ⊥ B C$ D、 $\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = 0$

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三、单选题

11. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为 $C D$ 的中点， $M$ 为边 $A B$ 上的动点（包括端点），则 $\vec{P Q} \cdot \vec{P M}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 1]$

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12. “莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为 $40 \sqrt{15}$ km，B是山坡SA上一点，且 $A B = 40$ km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（）

A、60km B、 $12 \sqrt{6}$ km C、72km D、 $12 \sqrt{15}$ km

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四、填空题

13. 已知复数 $\frac{a - 2 i}{i} = b + 3 i$ ，其中a， $b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则 $a b =$ .

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14. 如图所示，平面四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图是等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} D^{'} = D^{'} C^{'} = 1$ ，那么原平面图形的周长是.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{4} ， A B = \sqrt{2} ， A C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为.

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16. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B C$ 的中点，以点 $E$ 为球心， $\sqrt{10}$ 为直径的球的球面记为 $Γ$ ，则直线 $B D_{1}$ 被 $Γ$ 截得的线段长为.

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五、解答题

17. 设 $ω = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ .

(1)、证明： $(\bar{ω})^{2} = ω$ ；

(2)、在复数范围内，利用公式 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 解方程 $z^{3} = 1$ .

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18. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 6$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求AC；

(2)、在（1）的条件下，若 $A D = \sqrt{26}$ ，求 $c o s 2 D$ ．

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19. 设向量 $\vec{O A} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (2 ， 1)$ ， $\vec{O C} = (x ， 5)$ .

(1)、当 $x = 1$ 时，以 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 为基底表示 $\vec{O C}$ ；

(2)、若 $\vec{O B} ， \vec{O C}$ 的夹角为锐角，求实数 $x$ 的取值范围.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $s i n B = \frac{2 S}{b^{2} - c^{2}}$ .

(1)、证明： $\frac{b^{2}}{c} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a}$ ；

(2)、若 $A = 2 C$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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21. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为所在棱的中点， $Q ， H$ 分别为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 和正方形 $A B C D$ 的中心，连接 $E F$ ， $E G ， F G ， D_{1} Q ， C H ， Q H ， C D_{1}$ .

(1)、证明：平面 $E F G / /$ 平面 $C D_{1} Q H$ ；

(2)、问在线段 $C D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $D Q$ $∥$ 平面 $D_{1} P H$ ？若存在，写出 $P$ 点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由.

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22. 在 $△ A B C$ 中，设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $b = 2 a - 2 c c o s B$ ，且三角形外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $c o s 2 A + c o s 2 B$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且满足 $\frac{c o s B}{s i n A} \vec{C B} + \frac{c o s A}{s i n B} \vec{C A} = 2 m \vec{C O}$ ，求 $m$ 的值．

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