河南省名校联盟2021-2022学年高一下学期数学4月质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列命题正确的是（）

A、单位向量都相等 B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ C、 $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$

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2. 已知复数 $z = 1 + 3 i$ ，那么 $| \frac{1}{z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $1$

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3. 下列说法正确的是（）

A、圆锥的轴垂直于底面 B、棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C、球面上不同的三点可能在一条直线上 D、棱台的侧面是等腰梯形

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4. 设 $\vec{e}$ 为单位向量， $| \vec{a} | = 2$ ，当 $\vec{a} ， \vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为（）

A、－ $\frac{1}{2}$ $\vec{e}$ B、 $\vec{e}$ C、 $\frac{1}{2}$ $\vec{e}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\vec{e}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 30$ ， $b = 25$ ， $A = 4 2^{∘}$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、有两解 C、有一解 D、有无数解

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6. 若 $P_{1} (2 ， 4)$ ， $P_{2} (5 ， 1)$ ，且 $P$ 是线段 $P_{1} P_{2}$ 靠近 $P_{1}$ 的一个三等分点，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(3 ， 3)$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $c = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8. 若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（　　）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、16 C、 $4 + 2 \sqrt{6}$ D、 $4 + 4 \sqrt{3}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $(a + c - b) (a + c + b) = a c$ ，则 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $c = 2 b c o s A$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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11. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $4$ ，若 $\vec{C M} = - 3 \vec{B M}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、18 B、16 C、14 D、12

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12. 瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为 $\frac{π}{3}$ ．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该瀑布的高度约为（）．

A、60m B、90m C、108m D、120m

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二、填空题

13. 若复数 $z = (m - 2) + (m + 1) i (m \in R)$ 在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是．

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14. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为．

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15. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 x$ ， $A C = 2 x$ ， $∠ B A C = 6 0^{∘}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ ，则 $B C$ 的长为．

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三、解答题

17. 如图，在直角梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $C D = A D = 1$ ．将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周．

(1)、画出旋转后形成的几何体的直观图，并说明该几何体是由哪些简单几何体组成；

(2)、求旋转形成的几何体的体积．

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18. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ．

(1)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求k的值；

(2)、若 $θ$ 为 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角，求 $θ$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 与矩形 $D E F G$ 全等，且 $\vec{C G} = \vec{G D}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A D}$ 与 $\vec{A B}$ 表示 $\vec{D F} ， \vec{B G}$ ；

(2)、用向量 $\vec{B G}$ 与 $\vec{D F}$ 表示 $\vec{A B} ， \vec{A D}$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (2 c + b ， 2 a)$ ， $\vec{n} = (c o s B ， 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长度．

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22. 如图，在海岸边的观测站 $A$ 点发现南偏西 $3 0^{∘}$ 方向上，距离 $A$ 点 $20$ 海里的 $C$ 处有一艘走私船，立刻通知了停在 $A$ 的正东方向上，且距离 $A$ 点 $10 (\sqrt{3} - 1)$ 海里的 $B$ 处的缉私艇，缉私艇立刻以 $10 \sqrt{2}$ 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以 $10$ 海里/时的速度从 $C$ 处向正南方向逃窜．

(1)、刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？

(2)、缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

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