河北省唐山市滦南县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面上的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在 $Δ A B C$ 中，已知点 $D$ 为 $A B$ 边的中点，点 $N$ 在线段 $C D$ 上，且 $\vec{C N} = 2 \vec{N D}$ ，若 $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C} + λ \vec{A B}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3. 在复平面内，复数z=i对应的点为Z ，将向量 $\vec{O Z}$ 绕原点O按逆时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ ，所得向量对应的复数是（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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4. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 上，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则此直三棱柱的外接球 $O$ 的表面积是（）

A、25π B、50π C、100π D、 $\frac{500 π}{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、等腰非等边三角形

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6. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥 $P - A B_{1} D_{1}$ 的体积为定值；③任意点P，都有 $D P ⊥ A_{1} C$ ；④存在点P，使得 $A_{1} P ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ 其中正确的是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $S$ 表示 $△ A B C$ 的面积，若 $c c o s B + b c o s C = a s i n A ，$ $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + a^{2} - c^{2})$ ，则 $∠ B =$

A、90 $°$ B、60 $°$ C、45 $°$ D、30 $°$

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8. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（）

A、8π B、16π C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3 ， 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， 1)$ ，设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、θ=135°

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10. 已知 $i$ 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）

A、复数 $z = 3 + 4 i$ 的模 $| z | = 5$ B、若复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $\bar{z}$ （即复数 $z$ 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限 C、若复数 $(m^{2} + 3 m - 4) + (m^{2} - 2 m - 24)$ $i$ 是纯虚数，则 $m = 1$ 或 $m = - 4$ D、对任意的复数 $z$ ，都有 $z^{2} \geq 0$

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11. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为线段 $A A_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} B_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点共面 B、平面 $E G H / /$ 平面 $A B C_{1}$ C、直线 $A A_{1}$ 与 $F H$ 异面 D、直线 $B C$ 与平面 $A F H$ 平行

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12. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则以下正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ C、 $(3 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $2 \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $m \vec{a} + n \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则 $\frac{m}{n}$ 等于

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14. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} = 1$ ，则 $| z - 2 i |$ 的最大值是.

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15. 已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot$ （ $\overset{⇀}{A B}$ ＋ $\overset{⇀}{A C}$ ）＝．

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16. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：
①D₁P∥平面A₁BC₁；②D₁P⊥BD；③平面PDB₁⊥平面A1BC₁；④三棱锥A₁﹣BPC₁的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 1 + m i$ （ $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）．

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $| z_{1} |$ ；

(2)、设复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2017}}{z}$ ，且复数 $z_{2}$ 所对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 如图1所示，在梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝ $\frac{1}{2} B C$ ， ∠C＝90°，分别延长两腰交于点 $A$ ，点 $F$ 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2所示．

(1)、求证：A₁F⊥BE；

(2)、若BC＝6，AC＝8，四棱锥A₁－BCDE的体积为12 $\sqrt{3}$ ，求四棱锥A₁－BCDE的表面积．

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\vec{m} = (a ， c - 2 b)$ ， $\vec{n} = (c o s C ， c o s A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长

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20. 如图所示，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁为菱形，∠A₁AC＝60°，AC＝2，侧面CBB₁C₁为正方形，平面ACC₁A₁⊥平面ABC．点M为A₁C的中点，点N为AB的中点．

(1)、证明：MN∥平面BCC₁B₁；

(2)、求三棱锥A₁－ABC₁的体积．

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21. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{a}{\cos A} = \frac{2 c - b}{\cos B}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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22. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝ $\frac{1}{2} C D$ ＝1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2．
图1 图2

(1)、求证：AM∥平面BEC；

(2)、求证：BC⊥平面BDE；

(3)、求点D到平面BEC的距离．

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