贵州省黔东南州2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. $s i n 75 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{1 - i}$ (i是虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 已知复数 $z = \frac{i}{\sqrt{2} + i}$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{4}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、7 D、5

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7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 3$ ， $2 C = A + B$ ， $s i n B = 2 s i n A$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8. 设 $a = 2 s i n 42 ° c o s 42 °$ ， $b = \frac{2 t a n 32 °}{1 - t a n^{2} 32 °}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 + c o s 168 °}{2}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ ，则下列说法正确的有（）

A、复数z的实部为3 B、复数z的共轭复数为 $3 - 4 i$ C、复数z的虚部为 $4 i$ D、复数z的模为5

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10. 下列化简正确的是（）

A、 $s i n^{2} 18 ° - c o s^{2} 18 ° = c o s 36 °$ B、 $\frac{t a n 57 ° - t a n 12 °}{1 + t a n 57 ° t a n 12 °} = 1$ C、 $s i n 15 ° s i n 75 ° = \frac{1}{4}$ D、 $2 t a n \frac{π}{8} = 1 - t a n^{2} \frac{π}{8}$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 3)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 能作为一组基底 B、与 $\vec{a} + \vec{b}$ 同向的单位向量的坐标为 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $\vec{c} = (x ， x)$ 满足 $| \vec{a} + \vec{c} | = | \vec{b} - \vec{c} |$ ，则 $x = \frac{5}{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ D、若 $c o s^{2} A + c o s^{2} B - c o s^{2} C > 1$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形

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三、填空题

13. 已知复数 $\frac{a - 2 i}{i} = b + 3 i$ ，其中a， $b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则 $a b =$ .

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14. 设向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内的一组基底，若向量 $\vec{a} = - 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}}$ 共线，则 $λ =$ .

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15. 已知 $2 c o s α - c o s β = \frac{3}{2}$ ， $2 s i n α - s i n β = 2$ 则 $c o s (α - β) =$ ．

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16. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A D})$ ，则 $| \vec{M B} | =$ ；若 $E$ 为正方形内一点（包括边界），则 $\vec{D E} \cdot \vec{A M}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ．

(1)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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18. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ， $\vec{m} = \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{n} = (k - 1) \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．当k为何值时：

(1)、 $\vec{m} / / \vec{n}$

(2)、 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$

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19. 已知 $π < α < \frac{3 π}{2}$ ， $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，角β的终边过点 $P (7 ， 3)$ .

(1)、求 $s i n (α + \frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、求 $t a n (2 α - β)$ 的值.

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20.

(1)、已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $s i n (α - β) = \frac{12}{13}$ ，求 $c o s β$ 的值；

(2)、已知 $θ$ 为锐角， $φ$ 为钝角， $t a n θ = \frac{1}{2}$ ， $t a n φ = - 3$ ，求 $θ + φ$ .

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21. 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15 $k m$ 的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75 $k m$ ，且与海岸距离为45 $k m$ 的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

(1)、小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

(2)、求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

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22. 在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 S (\frac{s i n C}{s i n B} + \frac{s i n A}{s i n C}) = (a^{2} + b^{2}) s i n A$ .

(1)、求C的值；

(2)、若ABC为锐角三角形，记 $m = \frac{S}{a^{2}}$ ，求m的取值范围.

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