广东省增城区四校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(3 + 4 i) z = 2 + i$ ，则z=（）

A、 $\frac{2}{5} - i$ B、 $\frac{2}{25} - \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ D、2－i

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2. 若复数 $z$ 对应的点是 $(- 1, 1)$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、-1 D、1

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3. 已知在平行四边形ABCD中， $\vec{A D} = (2 ， 6)$ ， $\vec{A B} = (- 4 ， 4)$ ，对角线AC与BD相交于点M， $\vec{A M} =$ （）

A、 $(- 2 ， - 5)$ B、 $(- 1 ， - 5)$ C、 $(2 ， - 5)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3$ ， $c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $B = 4 5^{∘}$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、两解 C、一解 D、解的个数不能确定

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5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$

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6. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为 $\frac{1}{6} c m^{3}$ ，则这个漏斗的容积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（）

A、5 $\sqrt{6}$ m B、15 $\sqrt{3}$ m C、5 $\sqrt{2}$ m D、15 $\sqrt{6}$ m

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8. 设点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， $M$ 为平面 $A B C D$ 外一点， $△ M A B$ 为等腰直角三角形，且 $∠ M A B = 9 0^{∘}$ ，若 $F$ 是线段 $M B$ 的中点，则（）

A、 $M E \neq D F$ ，且直线 $M E$ 、 $D F$ 是相交直线 B、 $M E = D F$ ，且直线 $M E$ 、 $D F$ 是相交直线 C、 $M E \neq D F$ ，且直线 $M E$ 、 $D F$ 是异面直线 D、 $M E = D F$ ，且直线 $M E$ 、 $D F$ 是异面直线

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二、多选题

9. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（）

A、平行 B、相交 C、直线在平面内 D、相切

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10. 已知 $i$ 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）

A、 $i^{10} = - 1$ B、复数 $- 2 - i$ 的虚部为 $- i$ C、若复数 $z$ 为纯虚数，则 ${| z |}^{2} = z^{2}$ D、若 $z$ 为复数，则 $z \cdot \bar{z}$ 为实数

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11. 已知 $△ A B C$ 中，其内角A，B，C的对边分别为a，b， $c .$ 下列命题正确的有（）

A、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $a = \sqrt{7}$ B、若 $b = 5$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $s i n A = \frac{2}{5}$ ，则 $a = 2 \sqrt{2}$ C、若A>B，则 $s i n A > s i n B$ D、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 5$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为10

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12. 如图，在透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边 $B C$ 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）

A、水的部分始终呈棱柱状 B、水面四边形 $E F G H$ 的面积为定值 C、棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面 $E F G H$ 平行 D、若 $E \in A A_{1}$ ， $F \in B B_{1}$ ，则 $A E + B F$ 是定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 2, 3), \overset{⇀}{b} = (3, m)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的表面积是．

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15. 若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为.

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16. 已知 $△ A B C$ 是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 3$ ， $b = 4$ ，则最大边 $c$ 的取值范围是．（结果用区间表示）

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四、解答题

17. 知非零向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 不共线.

(1)、如果 $\vec{A B}$ ＝ $\vec{e_{1}}$ ＋ $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C}$ ＝2 $\vec{e_{1}}$ ＋8 $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D}$ ＝3（ $\vec{e_{1}}$ － $\vec{e_{2}}$ ），求证：A，B，D三点共线；

(2)、欲使向量k $\vec{e_{1}}$ ＋ $\vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}}$ ＋k $\vec{e_{2}}$ 平行，试确定实数k的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} a c o s B = b s i n A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $B D = 2 D C = 4$ ，求 $\frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ C A D}$ 的值．

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21. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)、求证：MN∥平面PAD；

(2)、在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD，并证明你的结论．

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22. 已知半圆圆心为 $O$ ，直径 $A B = 4$ ， $C$ 为半圆弧上靠近点 $A$ 的三等分点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，以 $O$ 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．

(1)、直接写出点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{P A} = \frac{3}{4} \vec{C A} - \frac{1}{4} \vec{C B}$ ，求 $\vec{P A}$ 与 $\vec{C B}$ 夹角 $α$ 的大小；

(3)、若 $y = \vec{P A} \cdot \vec{P O}$ ，当 $y$ 得最小值时，求点 $P$ 的坐标及 $y$ 的最小值．

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