甘肃省张掖市校际联考2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2023-03-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b$ 为实数，且 $\frac{2 + b i}{1 + i} = a + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a + b i =$ （）

A、 $3 + 4 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $3 + 2 i$

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2. 曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 在点 $(\frac{1}{2} ， - 2)$ 处的切线方程是（）

A、 $y = - 4 x$ B、 $y = 4 x - 4$ C、 $y = 4 x + 4$ D、 $y = - 4 x + 4$

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3. ${(2 x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（）

A、60 B、160 C、120 D、240

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4. 已知整数对排列如下： $(1 ， 1)$ ， $(1 ， 2)$ ， $(2 ， 1)$ ， $(1 ， 3)$ ， $(2 ， 2)$ ， $(3 ， 1)$ ， $(1 ， 4)$ ， $(2 ， 3)$ ， $(3 ， 2)$ ， $(4 ， 1)$ ， $(1 ， 5)$ ， $(2 ， 4)$ ， $(3 ， 3)$ ， ……．按以上规律，第70个数对是（）

A、 $(2 ， 11)$ B、 $(3 ， 10)$ C、 $(4 ， 9)$ D、 $(5 ， 8)$

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5. 已知函数 $f (x) = x + l n x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线 $l$ 的方程为 $y = k x - 1$ ，则切线 $l$ 与坐标轴所围成的三角形的面积为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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6. 设随机变量 $ξ$ 的分布列为下表所示，且 $E (ξ) = 1.6$ ，则 $a - b =$ （）
$ξ$
$0$
$1$
$2$
$3$
$P$
$0.1$
$a$
$b$
$0.1$

A、0.2 B、-0.3 C、0.3 D、-0.2

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7. 某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有（）种不同的涂色方案.
自由
平等
公正
法制

A、24 B、256 C、108 D、72

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8. 《世说新语·道旁苦李》有这样一则故事：王戎七岁的时候，曾经和小朋友们一道玩耍，看见路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动．有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子．”摘来一尝，果然是这样．这则故事中，王戎判断李子是苦李所用到的数学方法是（）

A、反证法 B、综合法 C、分析法 D、分析—综合法

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9. 中国在 $2020$ 年 $11$ 月 $1$ 日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等 $5$ 名志愿者参加 $4$ 个不同的社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排 $1$ 名志愿者， $1$ 名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（）

A、240种 B、216种 C、144种 D、72种

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10. $\int_{- 1}^{1} (x^{2} + 2) d x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $\frac{20}{3}$

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11. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若经过 $D_{1} B$ 的平面分别交 $A A_{1}$ 和 $C C_{1}$ 于点 $E ， F$ ，则四边形 $D_{1} E B F$ 的形状是（）

A、直角梯形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形

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12. 函数 $f (x) = a (x - 1) - e^{x} (2 x - 1)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1) ∪ (4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$ B、 $(1 ， 4 e^{\frac{3}{2}})$ C、 $(0 ， 1) \cup (4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$ D、 $(4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} |=| z_{2} |= 2$ ， $z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ =.

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14. 现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有种．

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15. 对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P､A､B共线的是（填序号）.
① $\vec{O P} = \vec{O A} + t \vec{A B} (t \in R ， t \neq 0)$ ；
② $5 \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A B}$ ；
③ $\vec{O P} = \vec{O A} - t \vec{A B} (t \in R ， t \neq 0)$ ；
④ $\vec{O P} = - \vec{O A} + \vec{A B}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{l n 3 x}{x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) ≥ 0$ 有且仅有1个整数解，则 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知 ${(2 x - \sqrt{x})}^{n}$ 展开式中所有项的二项式系数和为16．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数．

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18. 已知a为实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + a$ ， $f^{'} (- 1) = 0$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{3}{2} ， 1]$ 上的极值．

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19. 已知几何体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为4的正方形，EF∥CD，且EF＝ED＝2．

(1)、求证：AD⊥CF；

(2)、求平面ADE与平面BCF所成角的大小．

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20. 已知函数f(x)＝x³－ax－1.

(1)、当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.

(2)、若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.

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21. 南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量
[0，1000]
(1000，3000]
(3000，＋∞)
节数
6
18
12

(1)、现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；

(2)、为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000，3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) + \frac{x^{2}}{2} - x$ （a为非零实数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $f (- x_{1}) + f (x_{2}) > x_{1}$ .

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$ξ$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0.1$	$a$	$b$	$0.1$

点击量	[0，1000]	(1000，3000]	(3000，＋∞)
节数	6	18	12