甘肃省武威市凉州区2021-2022学年高二下学期文数期中质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{4 i}{1 - i}$ 等于（）

A、 $- 2 - 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 + 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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2. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(2 x^{2} + 3)}^{′} = 4 x + 3$ B、 ${(c o s x)}^{^{'}} = s i n x$ C、 ${(\sqrt{x})}^{^{'}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = \frac{1}{x^{2}}$

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3. 点P的直角坐标为 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，那么它的极坐标可表示为（）

A、 $(2 ， \frac{7 π}{4})$ B、 $(2 ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(2 ， \frac{5 π}{4})$ D、 $(2 ， \frac{π}{4})$

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4. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ 在闭区间 $[- 3 ， 0]$ 上的最大值、最小值分别是（）

A、 $1 ， - 1$ B、 $1 ， - 17$ C、 $3 ， - 17$ D、 $9 ， 19$

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5. 甲、乙、丙、丁四名同学在建立关于变量 $x$ 、 $y$ 的回归模型时，分别选择了 $4$ 种不同的模型，并计算出了相应的相关系数 $R^{2}$ ，如下表，则模型拟合程度最好的是（）

甲
乙
丙
丁
$R^{2}$
$0.79$
$0.82$
$0.95$
$0.67$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 函数 $f (x) = 2 l n x - x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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7. 若圆C的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = 2 s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），直线l的直角坐标方程为： $3 x - 4 y - 9 = 0$ ．则圆C与直线l的位置关系是（）

A、相切 B、相离 C、相交且直线过圆心 D、相交但直线不过圆心

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8. 设有下面四个命题：
$p_{1}$ ：若复数z满足 $| z | = 0$ ，则 $z = 0$ ；
$p_{2}$ ：若复数z满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ ；
$p_{3}$ ：若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ；
$p_{4}$ ：若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ ．
其中正确的是（）

A、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ B、 $p_{2}$ ， $p_{4}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{3}$ D、 $p_{1}$ ， $p_{4}$

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9. 函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $a = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ ， $b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a$ ， $b$ 大小不确定

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11. 在极坐标系下，圆心为 $C (3 ， \frac{π}{6})$ ，半径为3的圆的极坐标方程为（）

A、 $ρ = 6 s i n (θ - \frac{π}{6})$ B、 $ρ = 6 c o s (θ - \frac{π}{6})$ C、 $ρ = 6 s i n (θ + \frac{π}{3})$ D、 $ρ = 3 c o s (θ - \frac{π}{6})$

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12. 若函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} - a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上只有一个零点，则常数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a > e$ C、 $1 < a < \frac{1}{e} + 1$ D、 $\frac{1}{e} < a < 1$

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二、填空题

13. 在极坐标系中， $A (2 ， \frac{5 π}{6})$ ， $B (3 ， \frac{π}{2})$ ，则 $| A B | =$ ．

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14. 曲线 $f (x) = x^{3} - x - 2$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是.

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15. 将参数方程 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α - 1 ， \\ y = - c o s α \end{array}$ ( $α$ 为参数)化成普通方程为．

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16. 函数 $f (x) = k x - l n x$ 的极值点为 $x = 2$ ，则 $k$ 的值为.

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三、解答题

17. 设 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，复数 $z_{1} = 2 + a i$ ， $z_{2} = 4 - 3 i$ .

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求 $a$ 的值.

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18. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$ ．

(1)、求f（x）在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

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19. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 $x$ 轴的正半轴重合，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{array}$ （ $α$ 是参数）．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程及曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最大值．

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20. 某电商销售平台为了解“电商消费者的性别对购买生鲜食品是否有影响”，随机调查了400名购买生鲜食品的消费者以了解情况，得到如下信息：

线上购买生鲜
线上不购买生鲜
男性
240
60
女性
90
10
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.050
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879

(1)、400名消费者中男性购买生鲜食品、女性购买生鲜食品的频率分别是多少？

(2)、能否有97.5%的把握认为“电商消费者购买生鲜食品与性别有关”，并说明理由．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P (- 1 ， 0)$ ，曲线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 的交点为A，B两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - a x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq e^{x} - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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	线上购买生鲜	线上不购买生鲜
男性	240	60
女性	90	10

	甲	乙	丙	丁
$R^{2}$	$0.79$	$0.82$	$0.95$	$0.67$

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.050	0.025	0.010	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879