福建省泉州市两校2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-03-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、①②

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2. 已知P(B|A)＝ $\frac{1}{3}$ ，P(A)＝ $\frac{2}{5}$ ，则P(AB)等于（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{15}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{6} = a_{2} + 4$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、4 B、17 C、68 D、136

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4. 下列说法中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = \frac{8}{9}$ B、“ $A$ 与 $B$ 是互斥事件”是“ $A$ 与 $B$ 互为对立事件”的充分不必要条件 C、已知随机变量 $X$ 的方差为 $D (X)$ ，则 $D (2 X - 3) = 2 D (X) - 3$ D、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{a}{2^{k}}$ ， $k = 1 ， 2 ， 3$ ，则 $P (X = 3)$ ＝ $\frac{1}{7}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s π x}{x^{2} + 1}$ ，以下结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 有无数个零点 C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，延长 $F B$ 交准线于点 $C$ ，若 $| B C | = 2 | B F |$ ，则 $\frac{| B F |}{| A F |}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a^{\frac{1}{a}} = b^{\frac{1}{b}}$ ，则（）

A、 $0 < b < 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $1 < b < e$ D、 $1 < a < e$

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二、多选题

9. 若 ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第7项

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10. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布 $N (82.5 ， 5 . 4^{2})$ ，则(人数保留整数) （）
参考数据：若 $Z ～ N (μ ， σ^{2}) ，则 P (μ － σ < Z \leq μ ＋ σ) \approx 0.682 7 ， P (μ － 2 σ < Z \leq μ ＋ 2 σ) \approx 0.954 5$ ， $P (μ － 3 σ < Z \leq μ ＋ 3 σ) \approx 0.997 3$ ．

A、年级平均成绩为82.5分 B、成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C、成绩不超过77分的人数少于150 D、超过98分的人数为1

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11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13， $\dots \dots$ ，则下列选项正确的是（）

A、在第9条斜线上，各数之和为55 B、在第 $n (n \geq 5)$ 条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C、在第 $n$ 条斜线上，共有 $\frac{2 n + 1 - (- 1)^{n}}{4}$ 个数 D、在第11条斜线上，最大的数是 $C_{7}^{3}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆内部，点 $Q$ 在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、离心率的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、当离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时， $| Q F_{1} | + | Q P |$ 的最大值为 $4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{| Q F_{1} |} + \frac{1}{| Q F_{2} |}$ 的最小值为1

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三、填空题

13. $(x^{2} + \frac{1}{x})^{6}$ 的展开式中常数项是．

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14. 已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m}{2} x^{2} - 6 x + 1$ 在 $(- 1 ， 1)$ 单调递减，则 $m$ 的取值范围为．

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15. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种(以数字作答)．

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E是棱 $A D$ 的中点，点 $F ， G$ 在平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内，若 $| E F | = \sqrt{5}$ ， $C E ⊥ B G$ ，则 $| F G |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：

(1)、第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)、在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $a_{3}$ 是 $2 a_{1} ， 3 a_{2}$ 的等差中项， $a_{5} = 32$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (2 n + 1) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图所示的几何体中， $△ A B E$ ， $△ B C E$ ， $△ D C E$ 都是等腰直角三角形， $A B = A E = D E = D C$ ，且平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C E$ ，平面 $D C E ⊥$ 平面 $B C E$ ．

(1)、求证： $A D$ $∥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求平面 $B A D$ 与平面 $E A D$ 夹角的余弦值．

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20. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．

(1)、求随机变量X的分布列及数学期望；

(2)、若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，且过点 $A (2 ， 3)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、若点M，N在C上，且 $A M ⊥ A N ， A B ⊥ M N$ ， B为垂足．是否存在定点Q，使得 $| B Q |$ 为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{2} x^{2} + x) + (x^{2} + 3 x + 3) e^{- x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、若函数f（x）有三个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ ．证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + 2 x_{3} > 0$ ．

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