广东省广州市三校联考2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i$ ，则 $| z |$ =（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 6$ ， $A C = 2$ ，且满足 $\vec{D B} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A E} = \vec{E C}$ ，若线段 $C D$ 和线段 $B E$ 的交点为 $P$ ，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot (\overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{C B}) =$ （）.

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 函数 $f (x) = \frac{c o s (x - \frac{π}{2})}{l n (x^{2} + 1)}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = - 1 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则下列说法错误的是（）

A、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1} + m (m \in R)$ 是纯虚数，那么 $m = - 2$ D、若 $z_{1} ， \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $| \vec{A B} | = 5$

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5. $△$ ABC中， $c o s 2 C - c o s 2 A > 2 s i n^{2} B$ ，则 $△$ ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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6. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ ， M，N为棱PA，PC的中点，平面BMN与棱PD交于点Q，则下列说法正确的是（）

A、四边形MBNQ是菱形 B、四边形MBNQ对角线MN中点也是四棱锥 $P - A B C D$ 高线的中点 C、 $△ M N Q ∽ △ M N B$ D、 $∠ M B N = 90 °$

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7. 在其定义域内，同时满足条件：“①当 $a + b = 0$ 时，有 $f (a) + f (b) = 0$ ；②当 $a + b > 0$ 时，有 $f (a) + f (b) < 0$ .”的函数是（）

A、 $f (x) = s i n x$ B、 $f (x) = - | x + 1 |$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ D、 $f (x) = l n \frac{2 - x}{2 + x}$

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8. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 150^{\circ}$ ， $\vec{B E} = 3 \vec{E C}$ ， $C D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， B E = \sqrt{3}$ ，若点F为边 $A D$ 上的动点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{B F}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{31}{32}$ D、2

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $t a n \frac{A + B}{2} = s i n C$ ，则下列论断正确的是（）

A、 $t a n A \cdot \frac{1}{c o s B} = 1$ B、 $1 < s i n A + s i n B \leq \sqrt{2}$ C、 $s i n^{2} A + c o s^{2} B = 1$ D、 $c o s^{2} A + c o s^{2} B = s i n^{2} C$

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $B = \frac{π}{3}$ ，角 $B$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于 $D$ ，且 $B D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A B ： B C = A D ： D C$ B、若 $B D = B C$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $2 \sqrt{2}$ C、若 $B D = B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ D、若 $B D = B C$ ，则 $\frac{A D}{D C} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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11. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $C C_{1} = 2$ ，点E，F，G分别为棱CD， $D D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的有（）

A、 $A_{1} B_{1}$ 与FG共面 B、AE与 $A_{1} C_{1}$ 异面 C、 $A_{1} G ∥$ 平面AEF D、该正四棱柱外接球的表面积为 $8 π$

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12. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、直线 $D P$ 与 $B C_{1}$ 是异面直线 B、 $C P / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A_{1} P + P B$ 的最小值是2 D、当P与 $B_{1}$ 重合时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $| z | = 1$ ， $k \in R$ 且z是复数，当 $| z^{2} + k z + 1 |$ 的最大值为3，则 $k =$ .

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14. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 120 °$ ， $c = 2$ ， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ， $B D = 2 \sqrt{7}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面A₁B₁C₁D₁上任意一点．若P与 $D_{1}$ 重合，则三棱锥E-PFG的体积是；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角 $θ$ ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的 $ρ (ρ > 0)$ 倍得到 $O P_{1}$ ，我们把这个过程称为对点P进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $P_{1}$ ，例如对点 $(1 ， 0)$ 进行一次 $T (\frac{π}{2} ， 3)$ 变换得到点 $(0 ， 3)$ ．若对点 $A (1 ， 0)$ 进行一次 $T (\frac{2 π}{3} ， 2)$ 变换得到点 $A_{1}$ ，则 $A_{1}$ 的坐标为；若对点 $B (\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ 进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $B_{1} (- 3 ， - 4)$ ，对点 $B_{1}$ 再进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $B_{2}$ ，则 $B_{2}$ 的坐标为．

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四、解答题

17. 在① $a = \sqrt{3} c \sin A - a \cos C$ ，② $(2 a - b) \sin A + (2 b - a) \sin B = 2 c \sin C$ 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a, b, c$ ， $c = \sqrt{3}$ ，而且______．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18. 如图所示，平面 $A B D E ⊥$ 平面 $A B C .$ $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C = B C = 4$ ，四边形 $A B D E$ 是直角梯形， $B D / / A E$ ， $B D ⊥ B A$ ， $B D = \frac{1}{2} A E = 2$ ， $O ， M$ 分别为 $C E ， A B$ 的中点.

(1)、试判断直线 $O D$ 与平面 $A B C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求四面体 $O D M E$ 的体积.

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19. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $w = f (z) = \frac{a z + b}{c z + d} (a d - b c \neq 0)$ 的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”．

(1)、若 $a = b = c = - d = 1$ ，求i的“像”以及 $1 + i$ “原像”；

(2)、若 $a = b = i$ ， $c = - d = - 1$ ，求证： $I m w > 0$ 的充要条件是 $| z | < 1$ ；

(3)、若 $a = c = 1$ ， $b = - d = - i$ ， z满足 $0 < I m z < 1$ ，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积．

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20. 如图，在直角梯形 $O A B C$ 中， $O A$ // $C B$ ， $O A ⊥ O C$ ， $O A = 2 B C = 2 O C$ ， $M$ 为 $A B$ 上靠近 $B$ 的三等分点， $O M$ 交 $A C$ 于 $D$ ， $P$ 为线段 $B C$ 上的一个动点．

(1)、用 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O M}$ ；

(2)、设 $\vec{O B} = λ \vec{C A} + μ \vec{O P}$ ，求 $λ$ ， $μ$ 的取值范围．

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21. 仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象.10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体， $O$ 为地球的球心， $\overset{⌢}{A B}$ 为地平线，有两个观测者在地球上的 $A$ ， $B$ 两地同时观测到一颗流星 $S$ ，观测的仰角分别为 $∠ S A D = α$ ， $∠ S B D = β$ ，其中， $∠ D A O = ∠ D B O = 90 °$ ，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的 $A$ ， $B$ 两点测得 $α = 30 °$ ， $β = 15 °$ ，地球半径为 $R$ 公里，两个观测者的距离 $\overset{⌢}{A B} = \frac{R}{3} π$ ．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{2.27} \approx 1.5$ ）

(1)、求流星 $S$ 发射点近似高度 $E S$ ；

(2)、在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径 $R \approx 6370$ 公里，请你据此判断该流星 $S$ 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．

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22. 已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ ，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有 $f (x + T) < P \cdot f (x)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有 $f (x + T) = P \cdot f (x)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是D上的P级周期函数，周期为T.

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 3$ 是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？

(2)、已知 $T = \frac{π}{2}$ ， $y = f (x)$ 是 $[0 ， + ∞)$ 上的P级周期函数，且 $y = f (x)$ 是 $[0 ， + ∞)$ 上的严格增函数，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x) = s i n x + 1$ .求当 $x \in [\frac{π}{2} n ， \frac{π}{2} (n + 1)) (n \in N^{*})$ 时，函数 $y = f (x)$ 的解析式，并求实数P的取值范围；

(3)、是否存在非零实数k，使函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} \cdot c o s k x$ 是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.

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