福建省泉州市三校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $z (1 - i) = 3 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{A B} = (7 ， 6)$ ， $\vec{B C} = (- 3 ， m)$ ， $\vec{A D} = (- 1 ， 2 m)$ ，若A，C，D三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上靠近 $B$ 点的三等分点，连接 $A D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $2 m + n =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 4 ， b = 4 \sqrt{3} ， B = 6 0^{°}$ ，则角 $A =$ （）

A、 $6 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $3 0^{°}$ D、 $3 0^{°}$ 或 $15 0^{°}$

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5. 已知随机事件 $A ， B ， C$ 中， $A$ 与 $B$ 互斥， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.3 ， P (C) = 0.6$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、0.3 B、0.6 C、0.7 D、0.9

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6. 甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）

A、7，7 B、7，1.2 C、1.1，2.3 D、1.2，5.4

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7. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）．

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 $\frac{s i n B s i n C}{3 s i n A} = \frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c}$ ，且 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A \cdot s i n B$ ，则 $\frac{c^{2}}{a + b}$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(6 ， 4 \sqrt{3}]$ C、 $[2 \sqrt{3} ， 6)$ D、 $[\sqrt{3} ， 2)$

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二、多选题

9. 已知下列命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ B、若 $k \in R$ ，且 $k \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $k = 0$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ C、 $[(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

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10. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 $7$ 天，每天新增疑似病例不超过 $5$ 人”．过去 $7$ 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）
甲地：总体平均数 $\bar{x} \leq 3$ ，且中位数为 $0$ ；
乙地：总体平均数为 $2$ ，且标准差 $s \leq 2$ ；
丙地：总体平均数 $\bar{x} \leq 3$ ，且极差 $c \leq 2$ ；
丁地：众数为 $1$ ，且极差 $c \leq 4$ ．

A、甲地 B、乙地 C、丙地 D、丁地

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11. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为 $\frac{1}{2}$ ，学生乙解出的概率为 $\frac{1}{3}$ ，学生丙解出的概率为 $\frac{1}{4}$ .若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（）

A、恰有一人解出的概率为 $\frac{11}{24}$ B、没有人能解出的概率为 $\frac{1}{24}$ C、至多一人解出的概率为 $\frac{17}{24}$ D、至少两个人解出的概率为 $\frac{23}{24}$

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12. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 4 ， B C = \sqrt{13} ， D$ 在 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $E$ 为 $A C$ 中点，下列结论正确的是（）

A、 $B E = \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $A D = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $P$ 在 $△ A B E$ 的外接圆上，则 $P B + 2 P E$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 满足条件 $| z | = | 3 + 4 i |$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点的轨迹围成的图形面积为．

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15. 从只读过《论语》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为．

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16. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线 $A B$ ， $A C$ 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路 $A B$ ， $A C$ 上分别设立游客接送点M，N，且 $A M = A N = 2$ 千米，若要求观景台P与两接送点所成角 $∠ M P N$ 与 $∠ B A C$ 相等，记 $∠ P M A = α$ ，观景台P到M，N建造的两条观光线路 $P M$ 与 $P N$ 之和记为y，则把y表示为 $α$ 的函数为y=；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离 $P A =$ 千米.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = \frac{1 + 4 m i}{1 - i}$ （ $m \in R ， i$ 是虚数单位）.

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、设 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，且 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} = (2 ， 1)$ 共线.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值.

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19. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求a的值；

(2)、求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；

(3)、为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．

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20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $1 - c o s 2 B = c o s (A - C) + c o s B$ ，且 $\vec{A D} = \vec{D C}$ .

(1)、求证： $b^{2} = a c$ ；

(2)、当 $B D = b$ 时，求 $c o s ∠ A B C$ .

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21. 为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．

(1)、若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；

(2)、若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．

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22. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知 $A C = 40 m$ ， $B C = 40 \sqrt{3} m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ M C N = 30 °$ .

(1)、若 $A M = 20 m$ 时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)、当 $∠ A C M$ 为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

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