安徽省池州市贵池区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $M = i + i^{2} + i^{3} + i^{4} ， N = i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot i^{4}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $M$ 与 $N$ 的关系是（）

A、 $M + N = 0$ B、 $M < N$ C、 $M > N$ D、 $M = N$

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2. .如图，在△ABC中， $\vec{A D}$ ＝ $\frac{2}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ ＋μ $\vec{A C}$ ，则λ＋μ的值为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 某人从出发点 $A$ 向正东走 $x m$ 后到 $B$ ，然后向左转150°再向前走 $3 m$ 到 $C$ ，测得 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} m^{2}$ ，此人这时离出发点的距离为（）

A、 $3 m$ B、 $\sqrt{2} m$ C、 $2 \sqrt{3} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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4. 直角三角形直角边长分别为1， $\sqrt{3}$ ，以边长为1的直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的侧面积等于（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $π$ C、2 D、1

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5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）.

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 4$ D、 $1 ： 5$

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6. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{E C} = 2 \vec{B E} ， ∠ A B C = 120 °$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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7. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，底面边长为4，则球O的表面积是（）

A、 $32 π$ B、 $32 \sqrt{2} π$ C、 $24 \sqrt{2} π$ D、 $24 π$

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8. 已知点C为扇形AOB的弧 $A B$ 上任意一点，且∠AOB＝120°，若 $\vec{O C}$ ＝λ $\vec{O A}$ ＋μ $\vec{O B}$ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为（）

A、[－2，2] B、(1， $\sqrt{2}$ ] C、[1， $\sqrt{2}$ ] D、[1，2]

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二、多选题

9. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中O为正八边形的中心，且 $O B = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A B} = \vec{E F}$ B、 $\vec{O A} - \vec{E D} = \vec{D O}$ C、 $\vec{O C} ⊥ \vec{O E}$ D、 $\vec{O D} \cdot \vec{O G} = 2 \sqrt{2}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 6$ C、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $(- \frac{6}{5} ， \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ 是向量 $\vec{a}$ 的单位向量

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11. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot z + 2 i \bar{z} = 3 + a i$ ， $a \in R$ ，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、1 B、-4 C、0 D、5

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $△ A B C$ 的面积为S，下列与 $△ A B C$ 有关的结论，正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$

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三、填空题

13. 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 $x^{'}$ 轴，底角为 $45 °$ ，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．

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14. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为 $8 m$ 的正 $△ A B C$ ，粮堆母线 $A C$ 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，若 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 平行，则实数m等于.

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16. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角是 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $b = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A = 45^{°}$ ，求边 $c$ ，显然缺少条件，若他打算补充 $a$ 的大小，并使得 $c$ 有两解，那么 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、求 $\frac{{(1 + i)}^{2} (3 + 4 i)}{z}$ 的值.

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18. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD和仰角α的正切值．

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19. 已知圆锥的底面半径 $R = 6$ ，高 $h = 8$

(1)、求圆锥的表面积和体积

(2)、如图若圆柱 $O^{'} O$ 内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{t a n A}{t a n B} = \frac{2 c - b}{b}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值及此时边b，c的值．

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21. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 1) ， \vec{n} = (\sqrt{3} c o s x ， \frac{1}{2} c o s 2 x)$ .

(1)、若函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值及相应自变量的取值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (A) = \frac{1}{2}$ ， $a = 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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22. 在① $b c = t (b + c)$ ，其中 $t$ 为角 $A$ 的平分线 $A D$ 的长（ $A D$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ），② $s i n^{2} A - (s i n B - s i n C)^{2} = 3 s i n B s i n C$ ， ③ $b = a c o s C - \frac{\sqrt{3}}{3} c s i n A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ____.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $A G$ 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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