山西省名校2022-2023学年高二下学期数学联考试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{n}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、12

查看试题解析
2. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 5)$ 上有且仅有2个极值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 5)$ 上有且仅有3个零点 D、 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上存在极大值点

查看试题解析
3. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{m}$ + $\frac{y^{2}}{m + 6}$ =1的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则C的长轴长为（）

A、8 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

查看试题解析
4. 设等差数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 1}{2 n + 6}$ ，则 $\frac{a_{10}}{b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{6}{11}$ C、 $\frac{11}{26}$ D、 $\frac{21}{46}$

查看试题解析
5. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上的图象连续不间断，在开区间 $(a ， b)$ 内的导数为 $f^{'} (x)$ ，那么在区间 $(a ， b)$ 内至少存在一点 $c$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ 成立，其中 $c$ 叫做 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 $f (x) = (x - 2) l n x$ 在 $[1 ， 2]$ 上的“拉格朗日中值点”的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
6. 若过点 $P (2 ， 4)$ 且斜率为k的直线l与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有且只有一个交点，则实数k的值不可能是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}} ， a_{1} = \frac{2}{3} ， a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n} a_{n + 1}$ ，若数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n + 1} + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2021} + 1}$ B、 $\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2022} + 1}$ C、 $\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2023} + 1}$ D、 $\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2024} + 1}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 2 ， f (x) - g^{'} (4 - x) = 2$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $f (2022) + g^{'} (2024) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 108$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 102$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 的公差为2 B、 ${a_{n}}$ 的公差为3 C、 ${| a_{n} |}$ 的前50项和为1390 D、 ${| a_{n} |}$ 的前50项和为1290

查看试题解析
10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A B ∥ C D ， ∠ A B C = \frac{π}{2} ， A B = P A = 2 ， B C = C D = 4 ， M$ 为 $P D$ 的中点，则（）

A、直线 $C M$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ B、直线 $B M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、二面角 $P - B C - M$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、点 $M$ 到直线 $B C$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = x l n x + 1 ， g (x) = e^{- x} + a x$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则 $a$ 的取值可能是（）

A、e B、e $+ 2$ C、3 D、4

查看试题解析
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， ⋯$ ．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为斐波那契数列，现将 ${a_{n}}$ 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 ${b_{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b_{2023} = 0$ B、 $T_{2023} = 1349$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2023} = a_{2024}$ D、 $S_{2023} = a_{2024} - 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{4} ， f (\frac{π}{4}))$ 处的切线方程为．

查看试题解析
14. 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从 $A$ 点走向 $B$ 点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设 $| A B | = S$ ，这个人走的第 $n$ 段距离为 $a_{n}$ ，则满足这个人走的前 $n$ 段距离的总和 $S_{n} \in (\frac{99 S}{100} ， \frac{999 S}{1000})$ 的 $n$ 的一个值可以为．

查看试题解析
15. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x ， f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{| f^{″} (x) |}{{(1 + {(f^{'} (x))}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ ．若曲线 $f (x) = x^{2} + l n x$ 和 $g (x) = \sqrt{x}$ 在 $(1 ， 1)$ 处的曲率分别为 $K_{1} ， K_{2}$ ，则 $\frac{K_{1}}{K_{2}} =$ ．

查看试题解析
16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， P (2 ， 1)$ 为抛物线 $C$ 内侧一点， $M$ 为 $C$ 上的一动点， $| M P | + | M F |$ 的最小值为 $\frac{7}{2}$ ，则 $p =$ ，该抛物线 $C$ 上一点A（非顶点）处的切线 $l$ 与圆 $M ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则 $| A F | =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 3$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{(n + 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{x^{2} - 2 a}{2 x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ，试问过点 $(0 ， 1)$ 向曲线 $y = f (x)$ 可作几条切线？

查看试题解析
19. 如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA₁=AB=4，E为棱AA₁的中点．

(1)、证明：BC⊥C₁E．

(2)、设 $\vec{C M}$ =λ $\vec{C E}$ （0<λ<1），若C₁到平面BB₁M的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求λ．

查看试题解析
20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{3} + 1$ 是 $a_{2} ， a_{4}$ 的等差中项，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(2 n - 1) S_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
21. 法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x²+y²=1．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- 3 ， + \infty)$ 上的极值；

(2)、若 $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， \frac{1}{f (x)} - 3 \leq a x^{2} - 2 x$ ，求 $a$ 的最小值．

查看试题解析