江西省南昌市2023年九年级下学期中考第一次学习效果检测数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、平行

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2. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ C、 $y = 2 x - 3$ D、 $y = - x^{2}$

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3. 公园中的休闲桌如图所示，下面为其俯视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率； B、任意写一个整数，它能被2整除的概率； C、掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率

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5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 $I (A)$ 与电阻 $R (Ω)$ 的关系图象，该图象经过点 $P (880 ， 0.25)$ ．根据图象可知，下列说法正确的是（）

A、当 $I < 0.25$ 时， $R < 880$ B、I与R的函数关系式是 $I = \frac{200}{R} (R > 0)$ C、当 $R > 1000$ 时， $I > 0.22$ D、当 $880 < R < 1000$ 时，I的取值范围是 $0.22 < I < 0.25$

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6. 如图，是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，根据图象信息分析下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $a b c > 0$ ；③ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；④ $4 a + 2 b + c < 0$ .其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

7. 如图，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，若 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ C =$ ．

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 2 ， A B = 6$ ，则 $t a n A =$ ．

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9. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度 $i = 5 ： 12$ ．李老师乘扶梯从底端A以 $0.5 m / s$ 的速度用时 $40 s$ 到达顶端B，则李老师上升的垂直高度 $B C$ 为．

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10. 已知 $α ， β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，求 $α^{2} + α β - 2 β$ 的值为．

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11. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中图形的周长为．

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12. 已知点 $M (2 ， 0)$ ， $⊙ M$ 的半径为1，OA切 $⊙ M$ 于点A，点P为 $⊙ M$ 上的动点，连接OP，AP，若 $△ P O A$ 是等腰三角形，则点P的坐标为．

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三、解答题

13.

(1)、解方程： $x (x + 4) = 2 x + 8$ ．

(2)、为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树 $(A B) 9 m$ 的水平地面点E处，然后一同学沿着直线 $B E$ 后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得 $D E = 3 m$ ，该同学身高 $C D = 1.6 m$ ．请你计算树（ $A B$ ）的高度．

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14. 如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架 $A D$ 与 $C B$ 交于点O，测得 $A O = B O = 50 c m$ ， $C O = D O = 30 c m$ ．

(1)、若 $C D = 40 c m$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、将桌子放平后，要使 $A B$ 距离地面的高为 $40 c m$ ，求两条桌腿需叉开角度 $∠ A O B$ ．

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15. 已知四边形 $A B C D$ 是正方形， $A E = \sqrt{2} E D$ ，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）

(1)、在图1中，将线段 $A E$ 绕着点A顺时针旋转 $90 °$ ；

(2)、在图2中，连接 $A C$ ，将线段 $A C$ 绕着点C顺时针旋转 $135 °$ 得到 $C G$ ．

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16. 如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：

(1)、小明掷出骰子，数字“6”朝下的是____事件；

A、不可能 B、必然 C、随机

(2)、用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A是y轴正半轴上一点，过点A作直线 $A B$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于点B，E，过点A作 $A C ∥ x$ 轴，交反比例函数的图象于点C，连接 $B C$ ， $A B = B C = 5 ， A C = 6$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ E B C$ 的面积．

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18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（ $M N$ 是基座的高， $M P$ 是主臂， $P Q$ 是伸展臂， $E M ∥ Q N$ ）．已知基座高度 $M N$ 为 $1 m$ ，主臂 $M P$ 长为 $5 m$ ，测得主臂伸展角 $∠ P M E = 37 °$ ．
（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5} ， t a n 37 ° \approx \frac{3}{4} ， s i n 53 ° \approx \frac{4}{5} ， t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

(1)、求点P到地面的高度；

(2)、若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为 $7 m$ ，求 $∠ Q P M$ 的度数．

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19. 学校某数学调查小组通过随机调查了某社交App的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60人（其中女性20人），统计他们在日常消费时是否使用手机支付的情况，定义：使用手机支付的为“手机支付族”，其他的为“非手机支付族”．根据抽样数据，绘制如下统计表．

手机支付族
非手机支付族
合计
男
30
10
40
女
a
8
20
合计
42
b
60

(1)、① $a =$ ▲ ， b ▲ ；
②用样本估计总体，若从该社交App女性用户中随机抽取1位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是多少?

(2)、某商场对“手机支付族”和“非手机支付族”有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次抽奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表）
手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
5
10
5
非手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
5
10
①用树状图表示某顾客进行一次摸奖的结果的所有情况；
②如果只考虑中奖因素，你将会选择哪种付费方式?请说明理由．

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20. 点A是矩形 $E F B G$ 边 $E G$ 上的点，以 $A B$ 为直径的圆交 $E F$ 于点D和点C， $A E = E D$ ，连接 $B D ， B C ， A C$ ．

(1)、求证： $A C = B C$ ．

(2)、已知 $A E = 1 ， B D = 3 \sqrt{2}$ ，求CD的长．

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21. 小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．

(1)、当 $200 \leq x \leq 400$ 时，求y与x的函数关系式．

(2)、某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．

(3)、某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（ $200 \leq x \leq 600$ ）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？

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22. 某公司为城市广场上一雕塑 $A B$ 安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹 $B C$ 上某一点与支柱 $A B$ 的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
$x / m$
0
2
6
10
$y / m$
3
$\frac{36}{7}$
$\frac{48}{7}$
$\frac{36}{7}$
根据上述信息，解决以下问题：

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系；

(2)、求水柱落地点与雕塑 $A B$ 的水平距离；

(3)、为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状 $y = a x^{2} + b x + c$ 不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在 $7 m$ 到 $14 m$ 之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．

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23. 如图，两个全等的四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ ，其中四边形 $O A ′ B ′ C ′$ 的顶点O位于四边形 $A B C D$ 的对角线交点O．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是正方形，则下列说法正确的有．（填序号）
① $O E = O F$ ；②重叠部分的面积始终等于四边形 $A B C D$ 的 $\frac{1}{4}$ ；③ $B E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} D B$ ．

(2)、应用提升：如图2，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是矩形， $A D = a ， D C = b$ ，写出 $O E$ 与 $O F$ 之间的数量关系，并证明．

(3)、类比拓展：如图3，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是菱形， $∠ D A B = α$ ，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 $α$ 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．

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	手机支付族	非手机支付族	合计
男	30	10	40
女	a	8	20
合计	42	b	60

$x / m$	0	2	6	10
$y / m$	3	$\frac{36}{7}$	$\frac{48}{7}$	$\frac{36}{7}$

球	两红	一红一白	两白
礼金券/元	5	10	5

球	两红	一红一白	两白
礼金券/元	10	5	10