江西省南昌市2022年四月底数学中考冲刺测试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣5的绝对值是（）

A、5 B、﹣5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 计算 $(- 2 x)^{2} \cdot x^{3}$ 的结果为（）

A、 $4 x^{5}$ B、 $- 4 x^{5}$ C、 $4 x^{6}$ D、 $- 4 x^{6}$

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3. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2022年1月11日，已免费接种超过29亿剂次，数据29亿用科学记数法表示为（）

A、 $29 \times 1 0^{8}$ B、 $2.9 \times 1 0^{8}$ C、 $2.9 \times 1 0^{9}$ D、 $0.29 \times 1 0^{10}$

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4. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $B C$ ， $E G$ 所截．若 $A B$ // $C D$ ， $∠ 1 = 76 °$ ， $∠ 2 = 36 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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5. 如图所示的是某三棱柱及其三视图，在△PMN中，∠P=90°，PM=6，cosM= $\frac{3}{5}$ ，则FG的长为（）

A、8 B、6 C、5 D、4.8

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6. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + (2 k + 1) x + k$ ，下列说法错误的是（）

A、对任意实数 $k$ ，该函数图象与 $x$ 轴都有两个不同的交点 B、对任意实数 $k$ ，该函数图象都经过点 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4})$ C、对任意实数 $k$ ，当 $x > - k$ 时，函数 $y$ 的值都随 $x$ 的增大而增大 D、对任意实数 $k$ ，该函数图象的顶点在二次函数 $y = - x^{2} - x$ 的图象上运动

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二、填空题

7. 计算：（a+1）（a﹣1）=.

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8. 已知方程 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为．

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9. 已知一组从小到大排列的整数： $x$ ， 3， $y$ ， $2 x$ ， 4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是．

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10. 如图，将 $△ A B C$ 平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $B'$ 落在边 $A C$ 上，若 $A B = A C$ ， $∠ A = 46 °$ ，则 $∠ A B^{'} C^{'}$ 的度数为．

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11. 在两河流域历史上，古巴比伦文明发达程度最高.19世纪上半叶以来，考古学家对古巴比伦王国进行系统发掘，发现了约50万块泥版，其中数学泥版约有300块，其上载有各种数学图表和数学问题.数学泥版YBC9856中载有如下财产分割问题：“五兄弟分银1迈纳（ $60 g i n$ ），按年龄从小到大的次序，每个哥哥均比相邻的弟弟多得若干，老二至老五四人所得共占 $\frac{2}{3}$ .”若设老五分得财产 $x g i n$ ，每个哥哥均比相邻的弟弟多得 $y g i n$ ，根据题意可列方程组为．

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12. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是边BC的中点，点P在边AB上（不与点A，B重合），将△BPE沿着直线PE翻折得到△FPE，连接AF，DF．当点A，D，F，P，E中有三点在同一直线上时，BP的长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 c o s 45 ° + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

(2)、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF．

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14. 解不等式 $1 - \frac{x - 2}{2} \geq \frac{1 + x}{3}$ ，并写出它的非负整数解.

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15. 为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C．足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等．

(1)、小军选修的课程是篮球这一事件是.（填序号）
①不可能事件 ②必然事件 ③随机事件

(2)、若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 和等腰 $△ E B C$ 中，边 $E B$ 和边 $A D$ 交于点 $F$ ，且 $E B = E C$ .请仅用无刻度直尺按下列要求作图.（保留作图痕迹）

(1)、如图1，在边 $B C$ 上找一点 $M$ ，使得 $B M = A F$ ；

(2)、如图2，作边 $A B$ 的中点 $N$ ．

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17. 在农村产业结构调整后，某村民今年种植了粮食和蔬菜，产值分别是40000元和60000元，已知该村民种植蔬菜比种植粮食少20亩，且蔬菜每亩的产值是粮食每亩产值的2倍．

(1)、问该村民今年种植蔬菜和粮食分别有多少亩？

(2)、若该村民想让明年蔬菜的产值变为粮食产值的1.2倍，则需把亩蔬菜改种粮食．

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18. 为了解本地区各校落实减轻学生课业负担的工作情况，有关部门对本区内某小学进行调查，随机抽取了部分小学生一周内完成作业的总时间（单位：分钟），并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组号
分组
频数
频率
1
$0 < t \leq 30$
4
0.050
2
$30 < t \leq 60$
12
0.150
3
$60 < t \leq 90$
$a$
0.450
4
$90 < t \leq 120$
18
0.225
5
$120 < t \leq 150$
6
$m$
6
$150 < t \leq 180$
4
0.050
根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)、表格中 $a =$ ， $m =$ ；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、抽取的这部分小学生一周内完成作业总时间的中位数落在第小组；（填组号）

(4)、若该校有1200名学生，请估计该校一周内完成作业的总时间大于2小时的人数．

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19. 如图1是一种斜挎包，其挎带由双层部分 $A B$ 、单层部分 $A C$ 和调节扣 $A$ 构成．可通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，加长或缩短挎带的长度（单层部分与双层部分长度之和，其中调节扣所占的长度忽略不计）．如图2，将挎包放置在挂钩上，此时 $△ A B C$ 恰好是直角三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ，测得单层部分 $A C = 45 c m$ ，两个固定扣之间的距离 $B C = 36 c m$ ．

(1)、求固定扣 $B$ 到单层部分 $A C$ 的距离；

(2)、如图3，调整调节扣 $A$ ，使得挎带的长度为 $66 c m$ ，且双层部分和单层部分同样长（ $A B = A C$ ），求此时 $∠ A B C$ 的度数．（参考数据： $s i n 33 ° \approx \frac{18}{33}$ ， $c o s 57 ° \approx \frac{18}{33}$ ， $t a n 29 ° \approx \frac{18}{33}$ ）

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20. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (6 ， 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求一次函数及反比例函数的解析式；

(2)、请你在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上找一点 $P$ ，使得 $△ A O P$ 和 $△ B O P$ 的面积相等，并求出点 $P$ 的坐标．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 交斜边 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $O$ 作 $O D$ // $A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知半圆 $O$ 的直径为6．
①若 $B D = 4$ ，则 $A C =$ ▲ ；
②若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，求四边形 $B D E O$ 的面积．

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
…
$y$
…
0
$m$
$n$
-3
0
…

(1)、求二次函数的解析式及 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、 $P$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (- 4 < x < 2)$ 图象上的任意一点，其横坐标为 $k$ ，过点 $P$ 作 $P Q$ // $x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $k + 4$ ；
①若线段 $P Q$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (- 4 < x < 2)$ 的图象有两个交点，借助图象写出 $k$ 的取值范围： ▲ ．
②设二次函数的图象与 $x$ 轴正半轴的交点为 $B$ ，连接 $B P$ ， $B Q$ ，若 $△ B P Q$ 是直角三角形，直接写出 $k$ 的值．

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23. 【模型建立】

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，探究图中线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长 $C B$ 到点 $G$ ，使 $B G = D F$ ，连接 $A G$ ，先证明 $△ A D F ≌ △ A B G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A E G$ ．
① $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系为；
②小亮发现这里 $△ A B G$ 可以由 $△ A D F$ 经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

(2)、【类比探究】
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ A B C$ 与 $∠ D$ 互补， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试问线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．

(3)、【模型应用】
如图3，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A D = 6$ ， $A B = 4$ ， $∠ C A E = 45 °$ ，求 $C E$ 的长．

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组号	分组	频数	频率
1	$0 < t \leq 30$	4	0.050
2	$30 < t \leq 60$	12	0.150
3	$60 < t \leq 90$	$a$	0.450
4	$90 < t \leq 120$	18	0.225
5	$120 < t \leq 150$	6	$m$
6	$150 < t \leq 180$	4	0.050

$x$	…	-3	-2	-1	0	1	…
$y$	…	0	$m$	$n$	-3	0	…