江西省九江市2022年初中学业水平模拟数学三模试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣3的绝对值是（）

A、﹣3 B、3 C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $- a (1 - a) = - a - a^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$

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4. 根据小成和小华一周内每天的锻炼时长绘制成如下折线统计图，已知两人平均每天的锻炼时长相同， $s_{1}$ ， $s_{2}$ 分别表示小成和小华锻炼时长的方差，则（）

A、 $s_{1} > s_{2}$ B、 $s_{1} < s_{2}$ C、 $s_{1} = s_{2}$ D、 $s_{1} \geq s_{2}$

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5. 如图，是由7个全等的菱形（有一个内角为60°）拼接而成的图形，菱形的顶点称为格点，以其中的4个格点为顶点连成矩形的个数共有（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 已知点M为二次函数 $y = x^{2} + 2 k x + k - 2$ 图象的顶点，则以下结论错误的是（）

A、该函数图象与x轴总有两个交点 B、若该函数图象的顶点M的坐标为 $(a ， b)$ ，则b与a的关系满足 $b = - a^{2} - a - 2$ C、无论k取何值，顶点M总在x轴的上方 D、直线 $y = k - 2$ 与该函数图象交于点C、D，则当 $k = \sqrt{3}$ 时，△MCD是等边三角形

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二、填空题

7. 江西省于2022年1月26日下午，第一批率先向北京红十字血液中心提供360000毫升悬浮红细胞血液，支持北京冬奥会，将360000毫升用科学记数法表示为．

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8. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $c ⊥ d$ ，且直线b、c、d相交于同一点，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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9. 因式分解 $a x^{2} - 4 a$ = ．

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10. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2022 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} - 3 x_{1} - x_{1} x_{2} + 4 =$ ．

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11. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 2$ ，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DF、CF，若 $D C = C F$ ，则△EFC的面积为．

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12. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，点E是BC的中点，点F在AB上， $F B = 1$ ， P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿 $F \to A \to D \to C$ 的路线运动，当 $∠ F P E = 30 °$ 时，FP的长为．

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三、解答题

13.

(1)、化简并求值： $1 - \frac{a}{a + 1}$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

(2)、如图，在▱ABCD中，点O是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线于点E，EF分别与AB、CD交于点H、G．求证： $A H = C G$ ．

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14. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x + 1 ＜ x - 3 \\ \frac{1 + x}{2} \leq \frac{1 + 2 x}{3} + 1 \end{array}$ ，并把解集表示在数轴上．

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15. 圆周率 $π$ 是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 $π$ 有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出 $π$ 的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着 $π$ 小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同.

(1)、从 $π$ 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为；

(2)、某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率.（用画树状图或列表方法求解）

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16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；

(2)、在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．

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17. 如图，Rt△AOD的边OD在x轴上， $∠ A O D = 45 °$ ， $A O = 3 \sqrt{2}$ ，将△AOD先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到△BCE，点C、B恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若 $m = 4 n$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、求反比例函数的解析式．

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18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的若干名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表：
组别
年龄段
频数（人数）
频率
A
$x < 20$
5
5%
B
$20 \leq x < 30$
$a$
25%
C
$30 \leq x < 40$
42
42%
D
$40 \leq x < 50$
20
$m$
E
$x \geq 50$
8
8%

(1)、请直接写出 $a =$ ， $m =$ ；

(2)、志愿者的年龄的中位数落在组；

(3)、若抽取的100名志愿者中年龄为 $30 \leq x < 50$ 岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？

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19. 如图1，AB为 $⊙ A$ 半径，点C在AB延长线上且满足 $B C = A B$ ，点D是圆上的一个动点，连接AD、CD．

(1)、△ACD面积最大时，请直接写出 $s i n C$ 的值；

(2)、猜想：当 $∠ A$ 的度数为多少时，CD为 $⊙ A$ 的切线，并证明你的猜想．

(3)、如图2，点H为AB中点，试猜想CD与DH的数量关系并给出证明．

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20. “荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千．左图为实际图，右图为侧面几何图．静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m．需要解决问题如下：

(1)、秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即 $∠ C A B$ ）的度数；

(2)、如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当 $0.20 < P < 0.22$ 时，可使人愉悦感最强．当小鹏用力将小运从点C推出后可达到最高点D处，此时 $∠ C A D = 100 °$ ．请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由．
（结果精确到0.01，参考数据： $s i n 37 ° = 0.6$ ， $c o s 37 ° = 0.8$ ， $s i n 27 ° = 0.452$ ， $π = 3$ ）

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21. 位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景．小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：

(1)、小捷的速度为m/s、父亲的速度为m/s；

(2)、求出点A坐标和BC所在直线的解析式；

(3)、直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m．

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22. 已知抛物线 $y_{1} = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线 $y_{1}$ 进行翻折而得到抛物线 $y_{2}$ ， $y_{1}$ 的顶点P与 $y_{2}$ 的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ．

(1)、点A和点B坐标分别为和；
四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是， $y_{2}$ 的解析式为．

(2)、当点Q到x轴的距离为4时，
①求m值和此时四边形APBQ的面积．

②若直线 $y = a$ 与两抛物线 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 共同所组成图像共有4个交点，直接写出当 $m < 0$ 时，a的取值范围．

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23. 如图

(1)、回归教材：如图1，小然同学在学习九年级上（北师版）教材P90页时，遇到了这个问题．如图，在△ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D．求证： $△ A B D ∽ △ C A D$ ．请你替小然写出过程．

(2)、小试牛刀：如图2， $∠ D A E = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ ， $E C ⊥ A C$ ， $B D = 3$ ， $A C = 5$ ， $C E = \frac{20}{3}$ ， $C D =$ ．

(3)、变式探索：如图3，△ABC中， $∠ C A B = 30 °$ ，点D为△ABC内部一点，且满足 $C D = 4$ ， $B D = 10$ ， $∠ A D B = 150 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ，求AD长．

(4)、拓展应用：如图4，正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作圆在正方形内得到弧AC，点P为弧AC上一点，且满足 $∠ B P C = 135 °$ ． △BPC面积记作 $S_{1}$ ，正方形ABCD面积记为 $S_{2}$ ．
①求 $t a n ∠ A B P$ ；②试猜想 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系并证明．

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组别	年龄段	频数（人数）	频率
A	$x < 20$	5	5%
B	$20 \leq x < 30$	$a$	25%
C	$30 \leq x < 40$	42	42%
D	$40 \leq x < 50$	20	$m$
E	$x \geq 50$	8	8%