山东省济南市历下区五校联考2022-2023学年九年级下学期3月数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $- \frac{2}{3}$ 的倒数是（　　）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\pm \frac{2}{3}$

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2. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 中国移动数据中心IDC项目近日在高新区正式开工建设，该项目规划建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省最大的数据业务中心．其中126000用科学记数法表示应为（）

A、1.26×10⁶ B、12.6×10⁴ C、0.126×10⁶ D、1.26×10⁵

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4.
如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（）

A、50° B、60° C、70° D、80°

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5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列运算中，计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(3 a^{2})}^{3} = 27 a^{6}$ C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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7. 若方程x²−cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不可能是（）

A、10 B、6 C、3 D、 $- 5$

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8. 若 $a b < 0$ ，则正比例函数 $y = a x$ 与反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点E；③连接 $A C$ ， $C E$ ．若 $D E = 3$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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10. 在平面直角坐标系中，对于点 $P (m ， n)$ 和点 $P^{'} (m ， n^{'})$ ，给出如下新定义，若 $n^{'} = {\begin{array}{l} | n | (当 m < 0 时) \\ n - 2 (当 m \geq 0 时) \end{array}$ ，则称点 $P^{'} (m ， n^{'})$ 是点 $P (m ， n)$ 的限变点，例如：点 $P_{1} (1 ， 4)$ 的限变点是 ${P^{'}}_{1} (1 ， 2)$ ，点 $P_{2} (- 2 ， - 1)$ 的限变点是 ${P^{'}}_{2} (- 2 ， 1)$ ，若点 $P (m ， n)$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 1$ 的图象上，则当 $- 1 ≤ m ≤ 3$ 时，其限变点 $P^{'}$ 的纵坐标 $n^{'}$ 的取值范围是（　　）

A、 $- 1 \leq n^{'} < 3$ B、 $1 \leq n^{'} < 4$ C、 $1 \leq n^{'} \leq 3$ D、 $- 1 \leq n^{'} \leq 4$

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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12. 一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．

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13. 方程 $\frac{x}{2 x - 2} = \frac{1}{x - 1}$ 的解为．

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14. 如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝．

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15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线 $O A B$ 和线段 $C D$ 分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为千米．

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16. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D ： A B = \sqrt{2} ： 1$ ，点E，F分别在 $A D$ ， $B C$ 上，把纸片如图沿 $E F$ 折叠，点A，B的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ 并延长交线段 $C D$ 于点G，则 $\frac{E F}{A G}$ 的值为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} - (2022 - π)^{0} - 2 \times c o s 30 ° + (- \frac{1}{2})^{- 1}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} < x + 1 \\ 2 + 5 x ⩽ 3 (6 - x) \end{array}$ ，并写出它的正整数解．

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19. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 内一点， $△ C D E$ 是等边三角形，连接 $E B 、 E A$ ．求证： $△ A D E ≌ △ B C E$ ．

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20. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、在扇形统计图中，“ $70 ∼ 80$ ”这组的百分比m=；

(3)、已知“ $80 ∼ 90$ ”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89．这组数据的众数是分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；

(4)、若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $P Q$ 切 $⊙ O$ 于E， $A C ⊥ P Q$ 于C，交 $⊙ O$ 于D．

(1)、求证： $A E$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $E C = \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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22. 某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离 $A B$ 是 $30 m$ ，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．

(1)、求甲楼的高度；

(2)、若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为 $45 °$ ，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为 $30 °$ ，求甲乙两楼之间的距离．（结果带根号）（ $c o s 31 ° ≈ 0.86$ ． $t a n 31 ° \approx 0.60$ ．）

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23. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．

(1)、A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？

(2)、该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？

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24. 正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A C$ ， $B D$ 交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1)、如图（1），双曲线 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 过点E，完成填空：点C的坐标是．点E的坐标是，双曲线的解析式是；

(2)、如图（2），双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 与 $B C$ ， $C D$ 分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证 $M N ∥ B D$ ；

(3)、如图（3），将正方形 $A B C D$ 向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，使过点E的双曲线 $y = \frac{k_{3}}{x}$ 与 $A B$ 交于点P．当 $△ A E P$ 是以 $A E$ 为腰的等腰三角形时，求m的值．

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25.

(1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

(2)、【类比探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展提升】
如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．

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26. 抛物线 $y = a x^{2} + 6 x + c$ 过 $A (2 ， 3)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (0 ， - 5)$ 三点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方， $D E ⊥ A B$ 交AK于点E，若满足 $\frac{D E}{A E} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求点D的坐标；

(3)、如图②，F为抛物线顶点，过A作直线 $l ⊥ A B$ ，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得 $△ B Q P$ 与 $△ A B F$ 相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时 $△ B Q P$ 的面积；若不存在，请说明理由．

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