上海市虹口区2023年九年级中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如果某个斜坡的坡度是 $1 ： \sqrt{3}$ ，那么这个斜坡的坡角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 1 ， B C = 2$ ，那么 $c o s A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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3. 已知抛物线 $y = (2 - a) x^{2} + 1$ 有最低点，那么a的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > 2$ D、 $a < 2$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b < 0$ C、 $c > 0$ D、 $a b c < 0$

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5. 如果点 $A (- 2 ， y_{1})$ 与点 $B (- 3 ， y_{2})$ 都在抛物线 $y = x^{2} + k$ 上，那么 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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6. 如图，点 $D 、 E$ 分别在Δ $A B C$ 边 $A B 、 A C$ 上， $\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{C E} = 3$ ，且 $∠ A E D = ∠ B$ ，那么 $\frac{A D}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

7. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且 $a = 2$ ， $c = 8$ ，那么b= ．

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8. 计算： $2 \vec{b} - \frac{1}{2} (6 \vec{a} - 2 \vec{b}) =$ ．

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9. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与y轴的交点坐标是．

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10. 沿着x轴正方向看，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x$ 在其对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将抛物线 $y = x^{2} + 2 x$ 沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为．

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
$x$
…
$- 1$
0
2
3
4
…
$y$
…
5
2
2
5
10
…
如果点 $(- 2 ， m)$ 在此抛物线上，那么m= ．

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13. 已知 $△ A B C ∽ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，顶点 $A 、 B 、 C$ 分别与 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 对应， $A C = 12 ， A_{1} C_{1} = 9$ ， $∠ A_{1}$ 的平分线的长为6，那么 $∠ A$ 的平分线的长为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A C$ 上，已知 $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 的面积比是 $1 ： 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ，那么用向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示向量 $\vec{A C}$ 为．

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点 $E 、 F$ 分别在边 $A B 、 C D$ 上且 $E F ∥ A D$ ，已知 $A E ： E B = 1 ： 2$ ， $A D = 3 ， E F = 4$ ，那么 $B C$ 的长是．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点G为 $△ A B C$ 的重心，过点G作 $G D ∥ B C$ 交 $A B$ 于点D．已知 $A B = 10 ， s i n B = \frac{3}{5}$ ，那么 $G D$ 的长为．

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17. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 $A B C D$ 、四边形 $E F G D$ 和四边形 $E A I H$ 都是正方形．如果图中 $Δ E M H$ 与 $Δ D M I$ 的面积比为 $\frac{16}{9}$ ，那么 $t a n ∠ G D C$ 的值为．

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18. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离是3，“等高底” $Δ A B C$ 的“等底” $B C$ 在直线 $l_{1}$ 上（点B在点C的左侧），点A在直线 $l_{2}$ 上， $A B = \sqrt{2} B C$ ，将 $Δ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $45 °$ 得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A 、 C$ 的对应点分别为点 $A_{1} 、 C_{1}$ ，那么 $A_{1} C$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算：cos²45° $- \frac{tan 30 °}{2 sin 60 °}$ ＋cot²30°.

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和 $B (5 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求此抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)、将此抛物线沿x轴向左平移 $m (m > 0)$ 个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C，求m的值．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， B C = 9 ， s i n B = \frac{2}{3}$ ，点E在边 $A C$ 上，且 $A E = 2 E C$ ，过点E作 $D E ∥ B C$ 交边 $A B$ 于点D， $∠ A C B$ 的平分线 $C F$ 交线段 $D E$ 于点F，求 $D F$ 的长．

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22. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图． $A B$ 是缓降器的底板，压柄 $B C$ 可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆 $D E$ 的端点 $D 、 E$ 分别固定在压柄 $B C$ 与底板 $A B$ 上，已知 $B E = 12 c m$ ．

(1)、如图2，当压柄 $B C$ 与底座 $A B$ 垂直时， $∠ D E B$ 约为 $22.6 °$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、现将压柄 $B C$ 从图2的位置旋转到与 $A B$ 成 $37 °$ 角（即 $∠ A B C = 37 °$ ），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆 $D E$ 的长．（结果保留根号）
（参考数据： $s i n 22.6 ° \approx \frac{5}{13} ， c o s 22.6 ° \approx \frac{12}{13} ， t a n 22.6 ° \approx \frac{5}{12}$ ； $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5} ， c o s 37 ° \approx \frac{4}{5} ， t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 与 $A C$ 交于点F， $∠ A D B = ∠ A C B$ ．

(1)、求证： $∠ A B D = ∠ A C D$ ；

(2)、过点A作 $A E ∥ D C$ 交 $B D$ 于点E，求证： $E F \cdot B C = A D \cdot A F$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 k x - 4 k (k < 0)$ 的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．

(1)、如果点A的坐标为 $(0 ， 4)$ ，点 $B (- 3 ， m)$ 在抛物线上，连接 $A B$ ．
①求顶点P和点B的坐标；
②过抛物线上点D作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为M， $D M$ 交线段 $A B$ 于点E，如果 $D E = E M$ ，求点D的坐标；

(2)、连接 $O P$ ，如果 $O P$ 与x轴负半轴的夹角等于 $∠ A P O$ 与 $∠ P O A$ 的和，求k的值．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 ， s i n B = \frac{3}{5}$ ，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 B C$ 上，满足 $∠ C D E = ∠ B$ ．点 $F$ 是 $D E$ 延长线上一点，且 $∠ E C F = ∠ A C D$ ．

(1)、当点D是 $A B$ 的中点时，求 $t a n ∠ B C D$ 的值；

(2)、如果 $A D = 3$ ，求 $\frac{C F}{D E}$ 的值；

(3)、如果 $△ B D E$ 是等腰三角形，求 $C F$ 的长．

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$x$	…	$- 1$	0	2	3	4	…
$y$	…	5	2	2	5	10	…