上海市长宁区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ，那么d的值是（）

A、8 B、6 C、4 D、1

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2. 下列各组图形中一定是相似形的是（）

A、两个等腰梯形 B、两个矩形 C、两个直角三角形 D、两个等边三角形

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3. 将抛物线 $y = - x^{2} + 4$ 向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ B、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 4$ C、 $y = - x^{2} + 5$ D、 $y = - x^{2} + 3$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，已知 $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，那么 $∠ A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知P是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > B P$ ，那么 $\frac{A P - B P}{B P}$ 的值为（）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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6. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax²+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-1
0
-3
-4
-3
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）

A、-1 B、-3 C、0 D、-4

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二、填空题

7. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{1}{4}$ ，那么 $\frac{b}{a + b}$ 的值为．

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8. 计算： $- \frac{3}{2} \vec{a} + 2 (\vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}) =$ ．

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9. 两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为．

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10. 如果向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反，且 $| \vec{a} | = 5$ ，那么用向量 $\vec{e}$ 表示向量 $\vec{a}$ 为．

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11. 小杰沿着坡度 $i = 1 ： 2.4$ 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．

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12. 已知抛物线 $y = (1 + m) x^{2}$ 在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 2 (a > 0)$ 经过点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(2 ， y_{2})$ ，试比较 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小： $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“>”，“<”或“=”）

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14. 如图 $A D ∥ B E ∥ C F$ ，已知 $A B = 5$ ， $D E = 6$ ， $A C = 15$ ，那么 $E F$ 的长等于．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点G为 $△ A B C$ 的重心，若 $A C = 6$ ， $t a n ∠ A B G = \frac{1}{3}$ ，那么 $A G$ 的长等于．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，正方形 $E F G H$ 的边 $F G$ 在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上，顶点E、H分别在边 $A C$ 、 $B C$ 上，如果其面积为24，那么 $A F \cdot B G$ 的值为．

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17. 如图，点E在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上， $∠ A B E$ 的平分线交 $A D$ 边于点F，连接 $E F$ ，如果正方形 $A B C D$ 的面积为12，且 $C E = 2$ ，那么 $c o t (∠ B E F - ∠ D F E)$ 的值为．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与 $△ O A B$ 相似，那么点C的坐标是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{c o s^{2} 30 ° - s i n 30 °} + \frac{s i n 60 °}{2 + t a n 60 °}$ ．

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20. 如图，已知D是 $△ A B C$ 边 $A C$ 上一点，且 $A D ： D C = 2 ： 3$ ，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{B D}$ ；

(2)、直接在图中作出向量 $\vec{B D}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

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21. 已知y关于x的函数 $y = (t + 2) x^{t^{2} - 2} - 2 t x - 3$ 是二次函数．

(1)、求t的值并写出函数解析式；

(2)、用配方法把该二次函数的解析式化为 $y = a {(x + m)}^{2} + k$ 的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

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22. 某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为45°．已知A，C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号）

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上，且 $A D = A B$ ，边 $B C$ 的垂直平分线 $E F$ 交边 $A C$ 于点E， $B E$ 交 $A D$ 于点G．

(1)、求证： $△ B D G ∽ △ C B A$ ；

(2)、如果 $△ A D C$ 的面积为 $180$ ，且 $A B = 18$ ， $D G = 6$ ，求 $△ A B G$ 的面积．

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24. 已知：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点P、D分别在射线 $C B$ 、射线 $A C$ 上，且满足 $∠ A P D = ∠ A B C$ ．

(1)、当点P在线段 $B C$ 上时，如图1．
①如果 $C D = 4.8$ ，求 $B P$ 的长：
②设B、P两点的距离为x， $A P = y$ ，求y关于x的函数关系式，并写出定义城．

(2)、当 $B P = 1$ 时，求 $△ C P D$ 的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和 $B (4 ， 0)$ ，与y轴交于点C，O为坐标原点，且 $O B = O C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点P是线段 $B C$ 上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接 $O Q$ ．当四边形 $O C P Q$ 恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下， $D$ 是 $O C$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 $∠ D Q E = 2 ∠ O D Q$ ，在直线 $Q E$ 上是否存在点F，使得 $△ B E F$ 与 $△ A D C$ 相似？若存在，求点F的坐标：若不存在，请说明理由．

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x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	-1	0	-3	-4	-3	…