上海市杨浦区2023年九年级数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列函数中，二次函数是（　　）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x (x + 1)$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x^{2}}$

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2. 已知点 $A (1 ， 2)$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，射线 $O A$ 与x轴正半轴的夹角为α，那么 $c o s α$ 的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 已知一个单位向量 $\vec{e}$ ，设 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 是非零向量，下列等式中，正确的是（　　）

A、 $\frac{1}{| \vec{m} |} \vec{m} = \vec{e}$ B、 $| \vec{e} | \vec{m} = \vec{m}$ C、 $| \vec{n} | \vec{e} = \vec{n}$ D、 $\frac{1}{| \vec{m} |} \vec{m} = \frac{1}{| \vec{n} |} \vec{n}$

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4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）

A、 $3 \sqrt{10}$ 米 B、 $2 \sqrt{10}$ 米 C、 $\sqrt{10}$ 米 D、9米

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点D，下列结论中，错误的是（　　）

A、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{A D}{A C} = \frac{C D}{B C}$ C、 $\frac{A D}{A C} = \frac{B D}{B C}$ D、 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A G$ 平分 $∠ B A C$ ，点D在边 $A B$ 上，线段 $C D$ 与 $A G$ 交于点E，且 $∠ A C D = ∠ B$ ，下列结论中，错误的是（　　）

A、 $△ A C D ∽ △ A B C$ B、 $△ A D E ∽ △ A C G$ C、 $△ A C E ∽ △ A B G$ D、 $△ A D E ∽ △ C G E$

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二、填空题

7. 计算： $c o t 30 ° =$ ．

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8. 计算： $\frac{1}{3} (\vec{a} - 2 \vec{b}) + \vec{b} =$ ．

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9. 如果函数 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ ，那么 $f (2) =$ ．

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10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．

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11. 已知点P是线段 $M N$ 的黄金分割点 $(M P > N P)$ ，如果 $M N = 10$ ，那么线段 $M P =$ ．

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12. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 13$ ， $B C = 17$ ， $t a n B = \frac{5}{12}$ ，那么 $A C =$ ．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2}$ 在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．

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14. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 $m =$ ．

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15. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是 $y = - \frac{3}{2} x^{2} + 6 x (0 \leq x \leq 4)$ ，那么水珠达到的最大高度为米．

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16. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为 $74 °$ ，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ．）

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17. 如图，已知在四边形ABCD中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = C B$ ，点E、F分别在线段AB、AD上．如果 $C E ⊥ B F$ ，那么 $\frac{C E}{B F}$ 的值为．

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18. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点C旋转，使点B恰好落在对角线 $A C$ 上的点 $B^{'}$ 处，点A、D分别落在点 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ 处，边 $A^{'} B^{'}$ 、 $A^{'} C$ 分别与边 $A D$ 交于点M、N，那么线段 $M N$ 的长为．

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三、解答题

19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (1 ， m)$ 、 $B (3 ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 上．

(1)、如果m=n，那么抛物线的对称轴为直线；

(2)、如果点A、B在直线 $y = x - 1$ 上，求抛物线的表达式和顶点坐标．

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，且DE经过 $△ A B C$ 的重心G．

(1)、设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{D E} =$ （用向量 $\vec{a}$ 表示）

(2)、如果 $∠ A C D = ∠ B$ ， $A B = 9$ ，求边 $A C$ 的长．

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21. 如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的 $A B$ 段为监测区．在 $△ A B P$ 中，已知 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，车辆通过 $A B$ 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据： $\sqrt{3} = 1.732$ ）

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22. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在 $5 \times 5$ 的网格图形中， $△ A B C$ 的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：

(1)、 $S_{△ A B C} =$ ； $s i n ∠ A B C =$ ；

(2)、请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使 $S_{△ A C P} = \frac{1}{5} S_{△ A B C}$ ．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E、F分别在边 $A C 、 B D 、 B C$ 上， $A B^{2} = A D \cdot A C$ ， $∠ B A E = ∠ C A F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ A C F$ ；

(2)、连接 $E F$ ，如果 $B F = C F$ ，求证： $E F ∥ A C$ ．

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24. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是直线 $A C$ 上方抛物线上一点，过点P作 $P G ⊥ x$ 轴，垂足为点G， $P G$ 与直线 $A C$ 交于点H．如果 $P H = A H$ ，求点P的坐标；

(3)、在第（2）小题的条件下，连接 $A P$ ，试问点B关于直线 $C D$ 对称的点E是否恰好落在直线 $A P$ 上？请说明理由．

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25. 已知在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $B D = 4$ ，点E、F分别在边 $A D 、 C D$ 上， $D E = D F$ ．

(1)、如图，如果 $∠ E B F = 60 °$ ，求线段 $D E$ 的长

(2)、过点E作 $E G ⊥ B F$ ，垂足为点G，与 $B D$ 交于点H．
①求证： $\frac{E H}{B E} = \frac{D H}{B D}$ ；
②设 $B D$ 的中点为点O，如果 $O H = 1$ ，求 $\frac{B G}{G F}$ 的值．

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