上海市松江区2023年中考数学一模试卷　

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 已知 $\tan A = \sqrt{3}$ ，则锐角A的度数是（）

A、 $30^{°}$ B、 $45^{°}$ C、 $60^{°}$ D、 $75^{°}$

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2. 已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $t a n A = \frac{2}{3}$ B、 $c o t A = \frac{2}{3}$ C、 $s i n A = \frac{2}{3}$ D、 $c o s A = \frac{2}{3}$

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3. 关于抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ ，下列说法正确的是（）

A、开口向上 B、与y轴的交点是 $(0 ， - 3)$ C、顶点是 $(1 ， - 3)$ D、对称轴是直线 $x = - 1$

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4. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为非零向量，下列判断错误的是（）

A、如果 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、如果 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ D、如果 $\vec{e}$ 为单位向量，且 $\vec{a} = 2 \vec{e}$ ，那么 $| \vec{a} | = 2$

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5. 如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得 $∠ P A B = α$ 、 $∠ P B A = β$ ，那么这条河的宽度是（）

A、 $\frac{a}{c o t α + c o t β}$ 米 B、 $\frac{a}{c o t α - c o t β}$ 米 C、 $\frac{a}{t a n α + t a n β}$ 米 D、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ 米

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6. 如图，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $B C = 4$ ． P是 $B A$ 延长线上一点，使得 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，这样的点P的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{x - y}{x + y}$ = ．

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8. 已知线段 $A B = 6$ ， P是 $A B$ 的黄金分割点，且 $P A > P B$ ，那么 $P A$ 的长是．

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9. 如图，已知直线 $A D ∥ B E ∥ C F$ ，如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， $D E = 3$ ，那么线段 $E F$ 的长是．

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， E是边 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 到点D，使 $B C = 2 C D$ ，那么 $D E$ 的长是．

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11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，如果 $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，那么 $c o s ∠ B C D$ 的值是

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12. 如图，河堤横断面迎水坡 $A B$ 的坡比 $i = 1 ： 0.75$ ，堤高 $B C = 4.8$ 米，那么坡面 $A B$ 的长度是米．

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13. 把抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．

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14. 如果一条抛物线经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (4 ， 0)$ ，那么该抛物线的对称轴是直线．

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15. 已知一个二次函数的图象经过点 $(0 ， 2)$ ，且在 $y$ 轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．

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16. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x (0 \leq x \leq 4)$ ．那么水珠的最大离地高度是米．

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17. 已知 $△ A B C$ ， P是边 $B C$ 上一点， $△ P A B$ 、 $△ P A C$ 的重心分别为 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ ，那么 $\frac{S_{△ A G_{1} G_{2}}}{S_{△ A B C}}$ 的值为．

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18. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ，将 $△ A B C$ 绕点C旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，如果直线 $A^{^{'}} B^{^{'}} ⊥ A B$ ，垂足记为点D，那么 $\frac{A D}{B D}$ 的值为．

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三、解答题

19. 如图，已知 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $A D = 2 D B$ ．

(1)、如果 $B C = 4$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{D E} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A C}$ ．

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20. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ ．

(1)、用配方法求这个二次函数的顶点坐标；

(2)、在所给的平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），画出这个二次函数的图象；

(3)、请描述这个二次函数图象的变化趋势．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ， D是 $A C$ 的中点， $D E ⊥ B C$ 于点E， $E D$ 、 $B A$ 的延长线交于点F．

(1)、求 $∠ A B C$ 的正切值；

(2)、求 $\frac{D F}{D E}$ 的值．

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22. 小明想利用测角仪测量操场上旗杆 $A B$ 的高度．如图，他先在点C处放置一个高为 $1.6$ 米的测角仪（图中 $C E$ ），测得旗杆顶部A的仰角为 $45 °$ ，再沿 $B C$ 的方向后退 $3.5$ 米到点D处，用同一个测角仪（图中 $D F$ ），又测得旗杆顶部A的仰角为 $37 °$ ．试求旗杆 $A B$ 的高度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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23. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ． E是边 $A B$ 上一点， $C E$ 与对角线 $B D$ 交于点F，且 $B E^{2} = E F \cdot E C$ ．
求证：

(1)、 $△ A B D ∼ △ F C B$ ；

(2)、 $B D \cdot B E = A D \cdot C E$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知抛物线 $y = a x^{2} + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $B (- 1 ， 3)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为 $P (m ， n)$ ．
①如果 $P O = P A$ ，且新抛物线的顶点在 $△ A O B$ 的内部，求 $m + n$ 的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且 $∠ P O A = ∠ O B A$ ，求点P的坐标．

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25. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， E是线段 $C D$ 上一点，连接 $B E$ ．

(1)、如图1，如果 $A D = 1$ ，且 $C E = 3 D E$ ，求 $∠ A B E$ 的正切值；

(2)、如图2，如果 $B E ⊥ C D$ ，且 $C E = 2 D E$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、如果 $B E ⊥ C D$ ，且 $△ A B E$ 是等腰三角形，求 $△ A B E$ 的面积．

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