上海市崇明区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个等腰梯形

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2. 将函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）

A、开口方向不变 B、顶点不变 C、对称轴不变 D、与 $y$ 轴的交点不变

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 4 ， A C = 3$ ，那么 $c o s A$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 已知 $\vec{e}$ 为单位向量，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 方向相反，且其模为 $| \vec{e} |$ 的4倍；向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{e}$ 方向相同，且其模为 $| \vec{e} |$ 的2倍，则下列等式中成立的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ C、 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} = - \frac{1}{2} \vec{b}$

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5. 四边形 $A B C D$ 中，点F在边 $A D$ 上， $B F$ 的延长线交 $C D$ 的延长线于E点，下列式子中能判断 $A D ∥ B C$ 的式子是（）

A、 $\frac{F D}{B C} = \frac{E D}{E C}$ B、 $\frac{A F}{D F} = \frac{B F}{E F}$ C、 $\frac{A B}{E D} = \frac{A F}{F D}$ D、 $\frac{E F}{B E} = \frac{E D}{E C}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，以下条件中不能推出 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ B C D$ B、 $\frac{C D}{A D} = \frac{B D}{C D}$ C、 $\frac{A B}{B C} = \frac{B C}{B D}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{A D}{B D}$

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二、填空题

7. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ ，且 $x y \neq 0$ ，则 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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8. 计算： $5 \vec{a} - 3 (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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9. 点P是线段 $M N$ 的黄金分割点，如果 $M N = 10 c m$ ，那么较长线段 $M P$ 的长是 $c m$ ．

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10. 如果抛物线 $y = (m - 2) x^{2}$ 有最高点，那么m的取值范围是．

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11. 如果抛物线 $y = 2 x^{2} - b x + 1$ 的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为．

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12. 已知点 $A (- 2 ， y_{1})$ 、 $B (- 3 ， y_{2})$ 为二次函数 $y = {(x + 1)}^{2}$ 图像上的两点，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“>”、“=”或“<”）

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13. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是．

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14. 飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为 $α$ ，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用 $α$ 的式子表示）

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = ∠ A C D = 90 °$ ， $∠ D = 45 °$ ，则 $\frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ A C D}} =$ ．

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16. 如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 $\frac{F G}{A G}$ ＝.

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为8，E为 $B C$ 的中点， $A F$ 平分 $∠ E A D$ 交 $C D$ 于点F，过点F作 $F G ∥ A D$ ，交 $A E$ 于点G，若 $c o s B = \frac{1}{4}$ ，则 $F G$ 的长为．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 4 ， B C = 3$ ，点D在 $A C$ 边上，点E在射线 $A B$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使得点A落在点 $A^{'}$ 处，当 $A^{'} D ⊥ A C$ 且 $C A^{'} ∥ A B$ 时， $B E$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： $4 c o s 30 ° - c o t 45 ° t a n 60 ° + 2 s i n^{2} 45 °$

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20. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，且 $B C = 3 A D$ ，过点A作 $A E ∥ D C$ ，分别交 $ B C 、 B D$ 于点 $E 、 F$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示 $\vec{B D}$ 和 $\vec{A F}$ ；

(2)、求作 $\vec{B F}$ 在 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

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21. 如图，D是 $△ A B C$ 边上的一点， $C D = 2 A D ， A E ⊥ B C$ ，垂足为点E，若 $A E = 9$ ， $s i n ∠ C B D = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、若 $B D = C D$ ，求 $t a n ∠ B A E$ 的值．

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22. 如图，一根灯杆 $A B$ 上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为 $i = 1 ： \frac{4}{3}$ 的斜坡 $C D$ ，如果高为3米的标尺 $E F$ 竖立地面 $B C$ 上，垂足为F，它的影子的长度为4米．

(1)、当影子全在水平地面 $B C$ 上（图1），求标尺与路灯间的距离；

(2)、当影子一部分在水平地面 $B C$ 上，一部分在斜坡 $C D$ 上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？

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23. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A D = \frac{1}{2} B C$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点F，点G是 $A B$ 边上的中点，连接 $C G$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，并满足 $B G^{2} = G E \cdot G C$ ．

(1)、求证： $∠ G A E = ∠ G C A$ ；

(2)、求证： $A D \cdot B C = 2 D F \cdot D E$

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24. 如图，在直角坐标平面 $x O y$ 中，对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A (4 ， 0)$ 、点 $M (1 ， m)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；

(2)、连接 $A B ， A M ， B M$ ，求 $S_{△ A B M}$ ；

(3)、过M作x轴的垂线与 $A B$ 交于点 $P ， Q$ 是直线 $M P$ 上一点，当 $△ B M Q$ 与 $△ A M P$ 相似时，求点Q的坐标．

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25. 已知 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4 ， A D ∥ B C$ ，点E为射线 $A D$ 上的一个动点（不与A重合），过点E作 $E F ⊥ B E$ ，交射线 $C A$ 于点F，连接 $B F$ ．

(1)、如图，当点F在线段 $A C$ 上时， $E F$ 与 $A B$ 交于点G，求证： $Δ A E G ∽ Δ F B G$ ；

(2)、在（1）的情况下，射线 $C A$ 与 $B E$ 的延长线交于点Q，设 $A E = x ， Q F = y$ ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)、当 $B E = 3$ 时，求 $C F$ 的长．

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