山东省青岛市市北区2023年一模数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数是有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $π$ C、0.121121112… D、 $\frac{22}{7}$

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2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国古代数学家祖冲之推算出 $π$ 的近似值为 $\frac{355}{113}$ ，它与 $π$ 的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{- 7}$ B、 $0.3 \times 1 0^{- 6}$ C、 $3 \times 1 0^{- 6}$ D、 $3 \times 1 0^{7}$

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4. 正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 4 ， 2)$ 、 $B (- 1 ， 3)$ 、 $C (- 2 ， - 1)$ ，线段 $A C$ 交x轴于点P，如果将 $△ A B C$ 绕点P按顺时针方向旋转90°，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，那么点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{5}{3})$ B、 $(2 ， - 2)$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{5}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 2)$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点E，若 $B A = B E$ ．则 $∠ A D B$ 的大小为（　　）

A、 $35 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ，点E、F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $B F$ 、 $D E$ 相交于点G，过点E作 $E H ∥ C D$ ，交 $B F$ 于点H，则线段 $G H$ 的长度是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．则下列结论：
① $a b c > 0$ ；② $a + 2 c < - b$ ③ $c - 3 a = 0$ ④直线 $y = m$ 可能与 $y = | a x^{2} + b x + c |$ 有4个交点
⑤若点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，点 $N (y_{1} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \frac{\sqrt{48} \times \sqrt{12}}{\sqrt{3}} =$ ．

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10. 已知关于x的一元二次方程 $(k^{2} - 1) x^{2} + 2 (k - 1) x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是．

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11. 如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是（填“变大”“变小”或“不变”）．

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12. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒 $84$ 消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于 $0.5 %$ ，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量 $y (%)$ 与时间 $t (m i n)$ 成正比例，消毒液挥发时，y与t成反比例，则此次消杀的有效作用时间是min．

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13. 如图，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = 4$ ，点C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，连接 $O C$ ，过点A作 $A D ⊥ O C$ 于点D，连接 $B D$ ．当 $B D$ 的长度最小时，图中阴影部分的面积为．

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14. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点M，N分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，沿着 $M N$ 折叠矩形 $A B C D$ ，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段 $C D$ 上（不与两端点重合），过点M作 $M H ⊥ B C$ 于点H，连接 $B F$ ，给出下列判断：① $△ M H N ∽ △ B C F$ ；②折痕 $M N$ 的长度的取值范围为 $3 < M N < \frac{15}{4}$ ；③当四边形 $C D M H$ 为正方形时， $N$ 为 $H C$ 的中点；④若 $D F = \frac{1}{3} D C$ ，则折叠后重叠部分的面积为 $\frac{55}{12}$ ．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）.

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三、解答题

15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
求作：以点 $P$ 为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线 $m$ 上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆 $O$ ．

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16.

(1)、化简： $\frac{2}{a - 1} + \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1} \div \frac{a - 2}{a + 1}$

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - x > 4 x + 17 ① \\ \frac{2 x + 2}{3} \leq \frac{x - 1}{2} + 1 ② \end{array}$

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17. 由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品.为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3.

(1)、A转盘转出-3的概率是.

(2)、张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字的扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去.请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由.

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18. 安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段 $B C$ 是悬挂在墙壁 $A M$ 上的匾额的截面示意图，已知 $B C = 2$ 米， $∠ M B C = 34 °$ ，从水平地面点 $D$ 处看点 $C$ ，仰角 $∠ A D C =$ $45 °$ ，从点 $E$ 处看点 $B$ ，仰角 $∠ A E B = 56 °$ ．且 $D E = 4.4$ 米，求匾额悬挂的高度 $A B$ 的长．（结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 34 ° = 0.56$ ， $\cos 34 ° \approx 0.83$ ， $\tan 34 ° \approx 0.67$ ）．

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19. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)、学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？

(2)、“篮球运球”的中位数落在等级；

(3)、将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；

(4)、青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由．

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20. 如图，已知 $▱$ ABCD，EF为BC边上的垂直平分线， $B C = F C = 2 A B$ ，且 $∠ A B D = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ C E F$ ；

(2)、连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由．

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21. 长为 $300 m$ 的春游队伍，以 $v （ m / s ）$ 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 $2 v （ m / s ）$ ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为 $t （ s ）$ ，排头与O的距离为 $S_{头} （ m ）．$

(1)、当 $v = 2$ 时，解答：
①求 $S_{头}$ 与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求 $S_{头}$ 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为 $S_{甲} （ m ）$ ，求 $S_{甲}$ 与t的函数关系式（不写t的取值范围）

(2)、设甲这次往返队伍的总时间为 $T （ s ）$ ，求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

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22. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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23. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°， $O A = 65 m$ ．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆， $A B = 100 m$ ．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离 $y (m)$ 与水平方向移动的距离 $x (m)$ 具备二次函数关系，其解析式为 $y = - \frac{1}{60} x^{2} + b x + c$ ．

(1)、求b、c的值；

(2)、进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 $x (m)$ 与飞行时间 $t (s)$ 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时， $t = 0$ ， $x = 0$ ；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？

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24. 如图1，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ，动点P从点A出发以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿 $B C$ 的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为 $t (s)$ ，过点P作 $P E ⊥ A C$ 于E， $P Q$ 交 $A C$ 边于D，线段 $B C$ 的中点为M，连接 $P M$ ．

(1)、当 $△ C D Q ∽ △ M P Q$ 时，求t的值；

(2)、在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段 $D E$ 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求 $D E$ 的长；

(3)、连接 $E Q$ ，设四边形 $E P M Q$ 的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(4)、如图2，将 $△ B P M$ 沿直线 $P M$ 翻折，得 $△ B^{'} P M$ ，连接 $A B^{'}$ ，当t为何值时， $A B^{'}$ 的值最小？并求出最小值．

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