辽宁省鞍山市立山区2023年九年级中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下面图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数是二次函数的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{3}$ B、 $y = a x^{2} + b x + c$ C、 $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ D、 $y = 3 x$

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3. 已知点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 是函数 $y = (m - 3) x^{2}$ 图象上的两点，且当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m > 3$ B、 $m \geq 3$ C、 $m < 3$ D、 $m \leq 3$

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4. 如图，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针方向旋转 $40 °$ 得到 $△ A^{'} C B^{'}$ ，若 $A C ⊥ A^{'} B^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ ，则 $∠ A A^{'} B^{'}$ 等于（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $20 °$

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5. 如图，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 交于A，B两点，若 $A (2 ， m)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 4)$

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6. 如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A、AM=BM B、CM=DM C、 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ D、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$

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7. 如图， $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上， $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 于点E，F，G，图中相似三角形共有（）．

A、0对 B、1对 C、2对 D、3对

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8. 二次函数y＝a（x-2）²+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 已知抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + m$ 经过点 $A (0 ， 3)$ ，则m= ．

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10. 如图， $P A$ ， $P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点A，B， $∠ A P B = 50 °$ ， $C D$ 切 $⊙ O$ 于点E，交 $P A$ ， $P B$ 于C，D两点，连接 $O C$ ， $O D$ ，则 $∠ C O D =$ ．

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11. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 3 ， 9)$ ， $B (1 ， 1)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} - b x - c = 0$ 的解为．

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上一点，连接 $A E$ ， $B D$ ，且 $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，若 $D E ： E C = 2 ： 3$ ，则 $S_{△ A D F} ： S_{▱ A B C D} =$ ．

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13. 已知下列函数① $y = x^{2}$ ；② $y = - x^{2}$ ；③ $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．其中图象通过平移可以得到函数 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ 的图象的是．（填序号）

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14. 如图，等边三角形 $A B C$ 和等边三角形 $A D E$ ，点N，点M分别为 $B C$ ， $D E$ 的中点， $A B = 6 ， A D = 4$ ， $△ A D E$ 绕点A旋转过程中， $M N$ 的最大值为．

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15. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上.若点B在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中，P为 $C D$ 边上一点 $(D P < C P)$ ， $∠ A P B = 90 °$ ．将 $△ A D P$ 沿 $A P$ 翻折得到 $△ A D^{'} P$ 、 $P D^{'}$ 的延长线交边 $A B$ 于点M，过点B作 $B N ∥ M P$ 交 $D C$ 于点N，连接 $A C$ ，分别交 $P M$ ， $P B$ 于点E，F．下面结论中：①连接 $D D^{'}$ ，则 $A P = D D^{'}$ ；②四边形 $P M B N$ 是菱形；③ $A D^{2} = D P \cdot P C$ ；④若 $A D = 2 D P$ ，则 $\frac{E F}{A E} = \frac{4}{9}$ ，正确的结论是．

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三、解答题

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ ．

(1)、若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)、若方程两实数根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且满足 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 9$ ，求实数m的值．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ 于点E，点P是边 $A D$ 上一点，且 $P E ⊥ E C$ ．求证： $A E \cdot A B = D E \cdot A P$ ．

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19. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

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20. 如图已知收线的圆片上有三点A，B，C．

(1)、作出这个圆片的圆心O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、连接 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ ，设 $△ A B C$ 是等腰三角形，底边 $B C = 8 c m$ ，腰 $A B = 2 \sqrt{5} c m$ ，求该圆片的半径R．

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21. 如图，已知函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点 $A (2 ， 3)$ ，延长 $A O$ 交双曲线另一分支于点C，过点A作直线 $A B$ 交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且 $D E = 2 A D$ ．

(1)、求反比例函数和直线 $A B$ 的表达式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $A B \neq A C$ ，点O为 $B C$ 边的中点，连接 $A O$ ，将 $△ A O C$ 绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $△ E O F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．

(1)、如图1，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，请直接写出 $A E$ 与 $C F$ 的数量关系

(2)、如图2，延长 $A O$ 到点D，使 $O D = O A$ ，连接 $D E$ ，若 $A O = C F = 5 ， B C = 6$ ．
①求 $\frac{A E}{C F}$ 的值；
②求 $D E$ 的长．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，点D在 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．连接 $B D$ 交 $A C$ 于点E，延长 $B D$ 到点F，使 $E D = D F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 6 ， B C = 2$ ，求 $A F$ 的长．

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24. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为 $20$ 元．根据以往经验，当销售单价是 $25$ 元时，每天的销售量是 $250$ 本；销售单价每上涨 $1$ 元，每天的销售量减少 $10$ 本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为 $x (25 \leq x \leq 50)$ 元．

(1)、请求出y与x之间的函数关系式；

(2)、书店决定每销售 $1$ 本该小说，就捐赠 $2$ 元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？

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25. 如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，点D，E分别在边 $A C ， A B$ 上，且 $D E ∥ B C$ ．

(1)、则 $\frac{C D}{B E}$ 的值为；

(2)、将 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转到如图2的位置，旋转角为 $a (45 ° < a < 90 °)$ ，连接 $C D ， B E$ ，求 $\frac{C D}{B E}$ 的值；

(3)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转，当 $∠ D E B = 90 ° ， A C = 5 ， A D = \sqrt{5}$ 时，请直接写出线段 $C D$ 的长．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D (0 ， - 1)$ ，点P为线段 $B C$ 上一动点，连接 $D P$ 并延长交抛物线于点H，连结 $B H$ ，当四边形 $O D H B$ 的面积为 $\frac{11}{2}$ 时，求点H的坐标；

(3)、已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以 $C Q$ 为斜边作等腰直角三角形 $C E Q$ ，请直接写出点E的坐标．

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