江西省赣州市寻乌县2022年九年级中考第三次模拟数学试题

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{4}$ 的倒数是（　　）

A、4 B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$

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3. 2020年我国北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成，北斗卫星原子钟的质量和指标授时精度相当于300万年只有1秒误差，将300万用科学记数法表示应为（）

A、 $0.3 \times 10^{6}$ B、 $3 \times 10^{5}$ C、 $3 \times 10^{6}$ D、 $\frac{10 n}{n + 1}$

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4. 如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（）

A、 $S_{5} + S_{7} = S_{2}$ B、 $2 S_{6} = S_{3}$ C、 $S_{7} = \frac{1}{3} S_{1}$ D、 $S_{7} = S_{3}$

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6. 如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，若经过23秒质点到达点A，经过33秒质点到达点B，则直线AB的解析式为（）

A、y＝ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{9}{2}$ B、y＝- $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{9}{2}$ C、y＝2x+9 D、y＝-2x+9

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二、填空题

7. 分解因式：2x²－4x=.

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8. 已知α、β是一元二次方程x²+x-1＝0的两根，则α²+2α+β-1＝．

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9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为步．

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10. 上“学习强国”学习是江老师每天的必修课，下表是江老师一周的学习得分情况：
日期
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
得分
62
49
55
45
55
48
55
则这组数据的众数为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 12$ ， $B C = 8$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点N，则 $△ B C N$ 的周长为．

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D'到AD的距离为cm．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $4 \cos 45 ° - | - \sqrt{8} | - {(- 1)}^{- 2020}$

(2)、如图，将矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转，得到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ 恰好落在 $C B$ 的延长线上，边 $A B$ 交边 $C^{'} D^{'}$ 于点E，求证： $B C = B C^{'}$

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14. 先化简再求值： $\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \div (1 - \frac{1}{x + 2})$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ．

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15. 小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）．

(1)、若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；

(2)、若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)、在图①中，将线段 $A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转一定角度，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，点 $B$ 与点 $C$ 重合，作出点 $O$ 的位置．

(2)、在图②中， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转某个角度，得到 $△ C F D$ ，使 $D A$ 与 $D C$ 重合，作出 $△ C F D$ ．

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17. 为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人）准备统一购买服装参加比赛．如表是某服装厂给出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套以上（含91套）
每套服装的价格
60元
50元
40元

(1)、如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；

(2)、如果七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是 $(3 ， 4) ， B A ⊥ x$ 轴于点A，点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，将 $△ O A B$ 向右平移，得到 $△ O^{'} A^{'} B^{'} ， O^{'} B^{'}$ 交双曲线于点 $C (3 a ， a)$ ．

(1)、求 $k ， a$ 的值；

(2)、求出 $△ O A B$ 向右平移到 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 的距离；

(3)、连接 $O B ， B C ， O C$ ，求 $△ O B C$ 的面积．

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19. 2021年，中国航天人在太空又书写了新的奇迹. 为增进学生对航天知识的了解，某校开展了相关的宣传教育活动. 现随机抽取部分学生进行航天知识竞赛活动，并将所得数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为， “良好"所在扇形的圆心角的度数是.

(2)、补全条形统计图

(3)、若该校共有学生1500人，估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有多少人?

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20. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．

(1)、当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；

(2)、当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

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21. 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，．

(1)、求证：DF是⊙O的切线；

(2)、若AD=DP，OB=3，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长度；

(3)、若DE=4，AE=8，求线段EG的长．

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22. 如图1，若抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B在抛物线L₁上（点A与点B不重合），我们把这样的两抛物线L₁、L₂互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

(1)、在图1中，抛物线：L₁：y=-x²+4x-3与L₂：y=a（x-4）²-3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为， a的值为；

(2)、在图2中，已知抛物线L₃：y=2x²-8x+4，它的“伴随抛物线”为L₄ ，若L₃与y轴交于点C，点C关于L₃的对称轴对称的对称点为D，请求出以点D为顶点的L₄的解析式；

(3)、若抛物线y=a₁（x-m）²+n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a₂（x-h）²+k，请写出a₁与a₂的关系式，并说明理由．

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23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中， $A F$ ， $B E$ 是 $Δ A B C$ 的中线， $A F ⊥ B E$ ，垂足为 $P$ ．像 $Δ A B C$ 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ．
特例探索：

(1)、①如图1，当 $∠ A B E = 45 °$ ， $c = 4 \sqrt{2}$ 时，a= ▲ ， b= ▲ ；
②如图2，当 $∠ A B E = 30 °$ ， $c = 2$ 时，求a和b的值．

(2)、归纳证明：
请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

(3)、利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点， $E ， F$ 分别为线段 $A O$ ， $D O$ 的中点，连接 $B E$ ， $C F$ 并延长交于点M， $B M$ ， $C M$ 分别交 $A D$ 于点G，H，如图4所示，求 $M G^{2} + M H^{2}$ 的值．

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购买服装的套数	1套至45套	46套至90套	91套以上（含91套）
每套服装的价格	60元	50元	40元

日期	1.10	1.11	1.12	1.13	1.14	1.15	1.16
得分	62	49	55	45	55	48	55