江西省抚州2022年八校联考九年级第三次质量检测数学试卷

试卷更新日期：2023-03-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{- 2} = a^{- 3}$ C、 ${(- 2 a b^{2})}^{2} = 4 a^{2} b^{4}$ D、 ${(2 a + b)}^{2} = 4 a^{2} + b^{4}$

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3. 2022年2月7日，中国女足不屈不挠、力闯难关，以骄人战绩时隔16年再次夺得亚洲杯冠军．如图所示，小楠将“中国女足夺冠”这句话写在了一个正方体的表面展开图上，那么在原正方体中，与“冠”所在面相对的面上的汉字是（）

A、中 B、国 C、女 D、足

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4. 如图， $E F$ 与 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 分别交于点E，G，F，且 $∠ 1 = ∠ 2 = 30 °$ ， $E F ⊥ A B$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A B / / C D$ B、 $∠ 3 = 60 °$ C、 $F G = \frac{1}{2} F C$ D、 $G F ⊥ C D$

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5. 若一次函数 $y = (2 m + 1) x - m + 3$ 的图象不经过第四象限，则m的取值范围是（）

A、 $m > - \frac{1}{2}$ B、 $m < 3$ C、 $- \frac{1}{2} < m < 3$ D、 $- \frac{1}{2} < m \leq 3$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ ， F为 $B C$ 中点，延长 $A D$ 至E，使 $D E$ ： $A D = 1 ： 3$ ，连接 $E F$ 交 $D C$ 于点G，若 $△ D E G$ 的面积是1，则五边形 $D A B F G$ 的面积是（）

A、 $11$ B、 $12$ C、 $\frac{55}{4}$ D、 $\frac{51}{4}$

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二、填空题

7. 函数y＝ $\frac{\sqrt{x - 2}}{x + 3}$ 的自变量x的取值范围是.

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8. 截至2022年5月5日，据平台数据显示，电影《长津湖之水门桥》累计票房破40.61亿，《长津湖》系列电影总票房达98.36亿，成为中国电影史系列电影票房冠军．将数据98.36亿用科学记数法表示为

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9. 设a、b分别为一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $a - 2 a^{2} - b =$

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10. 如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为

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11. 中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为 $N$ ，它的算术平方根的整数部分为 $a$ ，则 $\sqrt{N} \approx a + \frac{N - a^{2}}{2 a + 1}$ ．按照上述取近似值的方法， $\sqrt{10} \approx$ （精确到 $0.001$ ）

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12. 在边长为 $4$ 的等边三角形 $A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上，且 $B D = 1$ ，点P是射线 $A D$ 上不与点A重合的一点，若 $△ P B D$ 中有一个角与 $∠ B A D$ 相等，则 $A P$ 的长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | - 4 | - {(t a n 30 ° - π)}^{0}$ ；

(2)、解方程组 ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 2 \\ 3 x - y = 14 \end{cases}$ ．

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14. 先化简代数式 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (\frac{x - 1}{x + 1} - x + 1)$ ，然后从﹣3＜x≤1的范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值．

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15. 为有效预防和打击电信诈骗犯罪活动，政法系统在全国各地深入推进“全民反诈”，组织了各类反诈骗宣传活动，打击诈骗分子．已知某校南、北两个校区各有三名学生宣传委员，为了更好地进行反诈知识宣传，从南、北两个校区的宣传委员中，各随机抽取一名学生做反诈知识宣传负责人，已知南校区的三名宣传委员均是女生，北校区的三名宣传委员中有两名女生和一名男生．

(1)、从南校区抽取的反诈知识宣传负责人是一名男生，这一事件是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；

(2)、求抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的概率（请用画树状图或列表的方法）．

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16. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半圆O的内接四边形， $A B$ 是半圆O的直径，点C是弧 $B D$ 的中点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）

(1)、在图（1）中，作一个等腰三角形 $A B E$ ；

(2)、在图（2）中，作一个以 $O D$ 为对角线的矩形．

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17. 临川仙盖山是江西省5A级乡村旅游景区，也是国家级4A级旅游景区，是江西省中小学研学实践教育基地之一．为了激发学生个人潜能和打造团队精神，抚州市某学校组织学生去仙盖山研学基地开展了为期一天的素质拓展活动．已知仙盖山景区成人票每张30元，学生票每张15元．

(1)、某班教师和学生一共去了50人，门票共需810元，求这个班参与活动的教师和学生各有多少人？

(2)、某旅行网上有两种优惠活动，活动一，买一张成人票送一张学生票；活动二，满48人可购团体票，团体票价享受9折优惠．小惠班里教师和学生一共去了50人，她计算后发现按活动二购买门票更划算，则小惠班里参与活动的教师最多有多少人？

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18. 2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色．河南省某市教育局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为x，将所得数据分为5组（A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70；E.0≤x＜60），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下：

a．甲中学延时服务得分情况扇形统计图

b．乙中学延时服务得分情况颊数分布表（不完整）

组别	频数
A	15
B
C	30
D	10
E	5

c．将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：

81，81，81，82，82，83，83，83，83，83．

d．甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表：

学校	平均数	中位数	众数
甲	75	79	80
乙	78	b	83

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、a＝， b＝．

(2)、已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格．

(3)、小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由．

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19. 如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图， $M B$ 是攀爬梯， $A C$ 是支撑梯．在攀爬梯 $M B$ 上焊接了 $5$ 块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面 $B C$ ，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为 $25 c m$ ，最上面一层踏板 $D E$ 正好可以连接两边的梯子 $M B$ 与 $A C$ ．已知 $A B = A C ， D E = 16 c m ， A D = A M = 40 c m$ ．

(1)、求这架人字梯的张角 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、求人字梯的最高点M到水平地面 $B C$ 的距离．（结果精确到 $0.1 c m$ )（参考数据： $s i n 11.5 ° \approx 0.20$ ， $c o s 11.5 ° \approx 0.98$ ， $c o s 78.5 ° \approx 0.20$ ， $t a n 11.5 ° \approx 0.20$ ）

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20. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B$ ⊥x轴于点B， $A B$ 的垂直平分线 $P D$ 交双曲线与点P．

(1)、若点A的坐标为(1，8)，则点P的坐标为．

(2)、若 $A P$ ⊥ $B P$ ，点A的横坐标为m．
①求k与m之间的关系式；
②连接 $O A$ ， $O P$ ，若 $△ A O P$ 的面积为6，求k的值．

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21. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，点D为⊙O上一点，且CD=CB．连接DO并延长交CB的延长线于点F．

(1)、求证：CD是⊙O的切线．

(2)、若 $A B = C B = 6$ ，连接 $B E$ ．
①求图中阴影部分的面积；
②求DF的长．

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22. 在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题．

(1)、【基本图形】如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = m$ ， $∠ B A C = α$ ，则 $B C =$ ．（用含m， $α$ 的式子表示）

(2)、【解决问题】在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．
①如图（2），P是 $B C$ 边上一动点，点P关于 $A B$ ， $A C$ 的对称点分别是D，E，连接 $A P$ ， $A D$ ， $A E$ ， $D E$ ，请写出 $A P$ 与 $D E$ 的数量关系，并说明理由；
②如图（3），若P，Q，R分别是边 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 上的动点，则 $△ P Q R$ 的周长的最小值为 ▲ ．

(3)、【应用拓展】如图（4），E，F分别是边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $D C$ 上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ， P，Q，R分别是△ $A E F$ 的边 $A E$ ， $E F$ ， $A F$ 上的动点，请直接写出 $△ P Q R$ 的周长的最小值．

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23. 我们约定[a， $-$ b，c]为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为 $y_{1} = x^{2} - 4 x + 3$ ，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为 $y_{2} = 2 x^{2} - 5 x + 3$ ；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为 $y_{3} = 3 x^{2} - 6 x + 3$ ；

(1)、下列结论正确的是（填序号）．
①抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 都经过点 $(0 ， 3)$ ；
②抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 与直线 $y = 3$ 都有两个交点；
③抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 有两个交点．

(2)、【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线 $y_{n}$ 称为“一簇抛物线”，分别记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， …， $y_{n}$ ．抛物线 $y_{n}$ 与x轴的交点为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ．
【探究问题】
①“—簇抛物线” $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， …， $y_{n}$ 都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．
②拋物线 $y_{n}$ 的顶点为 $C_{n}$ ，是否存在正整数n，使 $△$ $A_{n} B_{n} C_{n}$ 是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当 $n \geq 4$ 时，抛物线 $y_{n}$ 与x轴的左交点 $A_{n}$ ，与直线 $y = 3$ 的一个交点为 $D_{n}$ ，且点 $D_{n}$ 不在y轴上．判断 $A_{n} A_{n + 1}$ 和 $D_{n} D_{n + 1}$ 是否相等，并说明理由．

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