（人教版）2022-2023学年九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步测试

试卷更新日期：2023-03-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图， $△ A B C$ 的顶点都是正方形网格中的格点，则 $cos ∠ A C B$ 等（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ $\frac{3}{5}$ ，则tanB的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 在下列实数中，无理数是（）

A、sin45° B、 $\frac{1}{3}$ C、0.3 D、tan45°

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4. 已知 $R t △ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 5$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{2}{5}$ B、 $t a n A = \frac{2}{5}$ C、 $t a n B = \frac{2}{5}$ D、 $c o s B = \frac{2}{5}$

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5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝ $\frac{3}{4}$ ，则BC的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{11}$

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6. 如图， $A B$ 为圆O的直径，点P在 $B A$ 的延长线上， $P C$ ， $P D$ 与圆O相切，切点分别为C，D，若 $A B = 4$ ， $P C = 4$ ，则 $\sin ∠ C B D$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm² ．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；② $c o s ∠ A B E = \frac{3}{5}$ ；③当0＜t≤5时， $y = \frac{2}{5} t^{2}$ ；④当 $t = \frac{29}{4}$ 秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）

A、①②③ B、②③ C、①③④ D、②④

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8. 下列说法中正确的是（）

A、在Rt△ABC中，若tanA＝ $\frac{3}{4}$ ，则a＝4，b＝3 B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝ $\frac{3}{4}$ C、tan30°＋tan60°＝1 D、tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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10. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

11. 如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则 $t a n ∠ C D E =$ ．

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12. 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D， AD= $\frac{9}{5}$ ， BD= $\frac{16}{5}$ ，则sinB=.

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14. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的 $⊙ O$ 经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°， $⊙ O$ 的半径为2，则阴影部分的面积为 .

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15. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ $\sin ∠ A B F = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ；⑤若连接AG，则 $A H + A P = \sqrt{2} A G$ ；⑥HF²+HK²＝2HB².结论正确的有（只填序号）.

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三、解答题

16. 已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= $\frac{2}{3}$ ， AC=10，求△ABC的面积。

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17. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a^{2} - 1}) \div \frac{2}{a + 1}$ ，其中 $a = 2 s i n 60 ° + 1$ .

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18. 如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

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四、综合题

19. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.

(1)、若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；

(2)、在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝ $\frac{3}{5}$ ，求⊙O的半径.

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20. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

(1)、如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；

(2)、如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\frac{D I}{D E} = \frac{C A}{C E}$ ；

(3)、探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.

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21. 如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD交过A，B，C三点的⊙O于点D.

(1)、求证： $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{A D}$ ；

(2)、若 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{C D}$ ， $\frac{A B}{A C} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求sin∠ACB的值.

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22. 在直角梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2 C D$ ，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

(1)、求证： $△ F O E ≌ △ D O C$ ；

(2)、求 $s i n ∠ O E F$ 的值．

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；

②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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