备战2023年中考数学细点逐一突破真题训练第13章图形的相似

试卷更新日期：2023-03-15 类型：二轮复习

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一、相似型

1. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A、平移变换 B、相似变换 C、旋转变换 D、对称变换

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2. 将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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3. 一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（　　）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、平行线平分线段成比例

4. 下列四组线段中，不成比例的是（）

A、3，9，2，6 B、1， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{6}$ C、1，2，4，8 D、1，2，3，9

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5. 点把 $A B$ 分割成 $A P$ 和 $P B$ 两段，如果 $A P$ 是 $P B$ 和 $A B$ 的比例中项，那么下列式子成立的是（　　）

A、 $\frac{P B}{A P} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{A P}{P B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{P B}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $D E ∥ B C$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于 $F$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ C、 $\frac{D F}{C F} = \frac{A E}{C E}$ D、 $\frac{D F}{B F} = \frac{E F}{C F}$

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7. 如图， $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线 $a ， b$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别交于点 $A ， B ， C$ 和点 $D ， E ， F$ ，若 $A B ： B C = 2 ： 3$ ， $E F = 15$ ，则DE的长是（）

A、8 B、6 C、4 D、10

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8. 如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为．

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O， $∠ B A C$ 的平分线交 $B D$ 于G，交 $B C$ 于F，求证： $O G = \frac{1}{2} C F$ .

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三、相似三角形判定

10. 如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C \sim △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ E$ B、 $∠ B = ∠ A D E$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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12. 已知： $D$ 、 $E$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $A B = 8$ ， $A D = 3$ ， $A C = 6$ ， $A E = 4$ ，求证： $△ A B C \sim △ A E D$ .

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13. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格， $A 、 B 、 C 、 D$ 均在格点上．

(1)、在图①中， $\frac{P D}{P A}$ 的值为；

(2)、利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在 $A B$ 上找一点 $P$ ，使 $A P = 3$ ；
②如图③，在 $B D$ 上找一点 $P$ ，使 $Δ A P B$ $∽$ $Δ C P D$ ．

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14. 下列图形中，与如图所示的 $△$ ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．

(1)、求证：△ABP∽△PCD；

(2)、若PC=2，求CD的长．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 是直角，过斜边中点M而垂直于斜边 $B C$ 的直线交 $C A$ 的延长线于E，交 $A B$ 于D，连接 $A M$ .
求证：

(1)、 $Δ A B C ∽ Δ M E C$ ；

(2)、 $A M^{2} = M D \cdot M E$ .

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四、相似三角形的相关证明计算

17. 已知，如图， $\frac{A B}{B D}$ = $\frac{B C}{B E}$ = $\frac{C A}{E D}$ ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？

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18. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且 $A B \cdot A C = B D \cdot C E$ ．求证： $△ A B D ∽ △ E C A$ ．

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19. 在△ABC中．∠C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．
　

(1)、图1，若∠AEF=∠BDF，求证： $\frac{C D}{C E} = \frac{A C}{B C}$ ；

(2)、如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；

(3)、如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．

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20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E.

(1)、求证：△AED∽△BEC；

(2)、若BD平分∠ABC，求证：CD²=DE•DB；

(3)、在（2）小题的条件下，若DE=4，BE=2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF=2，求该圆的半径长.

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于D．

(1)、求证： $\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C}$ ；

(2)、延长 $B D$ 至点E，联结 $C E$ 、 $A E$ ，如果 $∠ A C E = ∠ E B C$ ，求证： $A E = C E$ ．

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22. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D、E在边 $A B$ 上， $C E^{2} = B E \cdot D E$ .

(1)、求证： $∠ D C E = 45 °$ ；

(2)、当 $A C = 3$ ， $A D = 2 B D$ 时，求 $D E$ 的长.

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五、相似三角形实际应用

23. 数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点 $O$ 为沙坑底面所在圆的圆心， $S$ 为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于 $B$ 时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点 $A$ 看到坑底 $S$ （甲同学的视线起点 $C$ 与点 $A$ ，点 $S$ 三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中错误的是（）

A、 $\frac{O A}{A B} = \frac{O S}{B C}$ B、 $\frac{O A}{O S} = \frac{A B}{B C}$ C、 $\frac{A C}{A S} = \frac{B C}{O S}$ D、 $\frac{O A}{B C} = \frac{A B}{O S}$

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24. 雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计）

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25. 如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米.

(1)、投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG＝米.

(2)、投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若 $D E ： C E = 5 ： 1$ ，则点G的上升高度为米.

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26. 矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E．

(1)、如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：；

(2)、如图2，当AB≠BC时．求证： $\frac{P A}{P E} = \frac{B C}{A B}$

(3)、若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝ $\frac{4}{5} \sqrt{41}$ 时，直接写出线段BF的长．

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27. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， A B = 10 ， A C = 6$ ，正方形 $D E F G$ 的顶点 $D 、 G$ 分别在边 $A C$ 、 $B C$ 上， $E F$ 在边 $A B$ 上.

(1)、点 $C$ 到 $A B$ 的距离为.

(2)、求 $D E$ 的长.

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28. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D ，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，若BC=6cm ， AD=4cm ，则正方形EFGH的边长是cm ．

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29. 小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是。

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30. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D 、 E$ 是边 $B C$ 上的两个点，且 $B D = D E = E C$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $A E$ 延长线于点 $F$ ，连接 $F D$ 并延长与 $A B$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $A B = 4 B G$ ；

(2)、连接 $A D$ ，如果 $∠ A D G ＝ ∠ B$ ，求证： $A C^{2} = 2 C D^{2}$ ．

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