江西省新八校2023届高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l g x \leq 1}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 10}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 10}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 10}$

查看试题解析
2. 若复数 $z = (1 - i) \times i^{2023}$ 则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

查看试题解析
3. 下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x > 0$ ， $e^{x} > x + 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \leq 0$ ， $e^{x} \leq x + 1$ ” B、若函数 $f (x)$ 为奇函数，则 $f (0) = 0$ . C、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ 是 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充分不必要条件 D、若 $x y \geq 0 (x \in R ， y \in R)$ ，则 $| x + y | + | x | + | y | \geq 2 | x - y |$

查看试题解析
4. 要计算 $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2023}$ 的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）

A、 $n < 2023$ B、 $n ≤ 2023$ C、 $n > 2023$ D、 $n \geq 2023$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）

A、 $\frac{3}{25}$ B、 $\frac{6}{25}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
7. 设 $a ， b \in R$ ，数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = b a_{n} + a$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 1$ ， $b = - 1$ 时，则 $a_{10} = 1$ B、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，则 $S_{n} = n^{2} - 2 n$ C、当 $a = 0$ ， $b = 2$ 时，则 $a_{n} = 2^{n}$ D、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，则 $a_{n} = 2^{n} - 1$

查看试题解析
8. 如图，已知抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， $M N ⊥ y$ 轴于点N.若四边形 $O C M N$ 的面积等于8，则E的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ D、 $y^{2} = 8 x$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上恰有3个实根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{5}{6} ， 1]$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{3}{2}]$

查看试题解析
10. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，右顶点为A，点B在C的一条渐近线上，且 $F B ⊥ B O$ （点O为坐标原点），直线FB与y轴交于点D.若 $A D / / O B$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{5} - 1$

查看试题解析
11. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\sqrt{2}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）

A、存在点E、使得A、 $F$ 、D、 $E$ 四点共面； B、存在点E，使 $D E ⊥ D F$ ； C、存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为 $\frac{π}{3}$ ； D、存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ .

查看试题解析
12. 已知 $a = e^{0.2} - 1$ ， $b = 2 (e^{0.1} - 1)$ ， $c = s i n 0.1 + t a n 0.1$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ 则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影为.

查看试题解析
14. 已知 $a = \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$ ，则 ${(a x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数是.（用数字作答）

查看试题解析
15. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上，若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为12，则球 $O$ 的表面积的最小值是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} - (a + 2) x (a < 2)$ ，若 $f (x)$ 存在极小值点 $m$ ，则 $f (m)$ 的最大值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(4 c o s^{2} \frac{B}{2} - 3) s i n A + (2 c o s A - 1) s i n B = 0$

(1)、证明： $a + b = 2 c$ ；

(2)、求 $c o s C$ 的最小值.

查看试题解析
18. 2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，且每个人答题相互不受影响.

(1)、求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；

(2)、用随机变量 $ξ$ 表示三名同学能够成为宣传员的人数，求 $ξ$ 的数学期望与方差.

查看试题解析
19. 如图所示，四边形ABCD为菱形， $P A = P D$ ，二面角 $P - A D - C$ 为直二面角，点E是棱AB的中点.

(1)、求证： $P E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = A B$ ， $A C = 4$ ，当二面角 $P - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求直线PE与平面PAC所成的角正弦值.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，点 $F (1 ， 0)$ 为椭圆C的右焦点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $F (1 ， 0)$ 作两条斜率都存在且不为 $0$ 的互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与椭圆相交 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 与椭圆相交 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 两点，求四边形 $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}$ 的面积S的最小值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a l n x - a x (a > 0)$ （ $e$ 是自然对数的底数）有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围：

(2)、若 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > \frac{e^{2}}{e^{x_{1} + x_{2}}}$

查看试题解析
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = s i n θ + c o s θ \\ y = s i n 2 θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 方程为 $x - \sqrt{3} y = 2 \sqrt{3}$

(1)、写出 $l$ 的极坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)、点A为曲线C上一动点，点B为直线 $l$ 上一动点，求 $| A B |$ 的最小值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + a |$ ， $g (x) = x + 2$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集；

(2)、设 $a > - \frac{1}{2}$ ，且当 $x \in [- a, \frac{1}{2})$ ， $f (x) \leq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析