江西省萍乡市2023届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 ${1}$

查看试题解析
2. 已知i为虚数单位，则复数 $\frac{1}{1 + i}$ 的实部与虚部之和为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
3. 在各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ，若 $a_{2} ， a_{3} + 1 ， a_{5} + 3$ 成等比数列，则公差d=（）

A、 $- 1$ 或2 B、2 C、1或 $- 2$ D、1

查看试题解析
4. 已知m和n是两条不同的直线， $α$ 和 $β$ 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

查看试题解析
5. 关于某校运动会 $5000$ 米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题 $p$ ；“乙得第二”为命题 $q$ ；“丙得第三”为命题 $r$ .若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题， $(\neg p) \land r$ 为假命题，则下列说法一定正确的为（）

A、甲不是第一 B、乙不是第二 C、丙不是第三 D、根据题设能确定甲、乙、丙的顺序

查看试题解析
6. 在二项式 ${(a - 2 x)}^{6}$ 的展开式中，若 $x^{3}$ 的系数为160，则a=（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt[3]{4}$ D、 $- \sqrt[3]{4}$

查看试题解析
7. 函数 $y = k x$ 与 $y = l n x$ 的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）

A、 $k = 1$ B、 $k = \frac{1}{e}$ C、 $k = \frac{1}{e}$ 或 $k \leq 0$ D、 $k = 1$ 或 $k \leq 0$

查看试题解析
8. 分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同.谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次.如图，进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如图，从正方形 $A B C D$ 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{17}{81}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{3}{17}$

查看试题解析
9. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f^{'} (x)$ 是其导函数.当x≥0时， $f^{'} (x) - x ² > 0 ，$ 且 $f (2) = 3$ ，则 $f (x) \geq \frac{1}{3} (x^{3} + 1)$ 的解集是（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

查看试题解析
10. 点 $M$ 为抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上任意一点，点 $N$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上任意一点， $P$ 为直线 $a x - y - a - 1 = 0$ 的定点，则 $| M P | + | M N |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $2 + \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = a x + l n a$ ， $g (x) = x + e^{x} - l n x$ ，若关于x的不等式 $f (x) > g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(e ， e^{2}]$ B、 $(e ， \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(e^{2} ， e^{3}]$ D、 $(\frac{e^{2}}{2} ， \frac{e^{3}}{3}]$

查看试题解析

二、多选题

12. 下列关于函数 $f (x) = | s i n 2 x | + \frac{1}{| c o s x |}$ 有关性质的描述，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称

查看试题解析

三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，已知角 $α$ 终边过点 $P (- 2 ， 1)$ ，则 $s i n 2 α =$ .

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系中，向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1) ， 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = (- 1 ， 5) ，$ 则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 若 $△ A B C$ 的周长为7，面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4} ，$ 且 $a b + 8 c = 28 ，$ 则c = .

查看试题解析
16. 已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， a_{n} \cdot S_{n} = n (2 n - 1) .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} \cdot 3^{n + 1}}{2 n + 1}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 如图在五面体 $A B C D E$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D E$ ，且 $A C = 2 A E = 2 D E = 2$ ， $∠ D E A = ∠ E A C = 9 0^{∘}$ ， $F$ 为边 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙答对每道题的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，两人答每道题都相互独立，答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得 $10$ 分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，若抢到，答对得 $10$ 分，对方得 $0$ 分，答错得 $0$ 分，对方得 $5$ 分.

(1)、若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值和此时乙答对每道题的概率 $p_{0}$ ；

(2)、以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值，求乙在第二轮得分 $X$ 的数学期望.

查看试题解析
20. 已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 $△ A B C$ 的顶点， $A (- \sqrt{3} ， 0)$ 为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点 $P (m ， 2) (m \in R ， m \neq 0) ，$ 若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + \frac{1 - l n x}{x} .$

(1)、若 $a = 0 ，$ 求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C_{1} ： θ = θ_{0} (θ_{0} \in (0 ， π) ， ρ \geq 0)$ .与曲线 $C_{2} ： ρ^{2} - 4 ρ s i n θ + 3 = 0$ 相交于P，Q两点.

(1)、写出曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程，并求出 $θ_{0}$ 的取值范围；

(2)、求 $\frac{1}{| O P |} + \frac{1}{| O Q |}$ 的取值范围.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = - a | x - 1 | + b (a > 0 ， b > 0)$ 的图象与x轴围成的封闭图形的面积为1.

(1)、求实数a，b满足的关系式；

(2)、若对任意 $x \in R ，$ 不等式 $\frac{f (x)}{a} < | x - \frac{2}{b} |$ 恒成立，求实数b的取值范围.

查看试题解析