湖北省襄阳市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 2} ， B = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，那么阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题“ $\forall x > 0 ， x^{2} - x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - x \leq 1$ B、 $\forall x > 0 ， x^{2} - x > 1$ C、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - x \leq 1$ D、 $\exists x > 0 ， x^{2} - x > 1$

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3. 下列函数中，值域为 $(0 ， + ∞)$ 的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ C、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ D、 $f (x) = 1 - \frac{1}{x} (x > 1)$

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4. 已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 下列选项中，是“不等式 $2 x^{2} - x - m > 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立”的一个必要不充分条件的是（）

A、 $m ≤ - \frac{1}{8}$ B、 $m < - \frac{1}{8}$ C、 $m < - \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4} < m < - \frac{1}{8}$

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x) = - f (x - 2)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{3} 36) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 设函数 $f (x) = 2 t a n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则 $f (x)$ 的一个最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{5}$ D、 $\frac{2 π}{5}$

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8. 我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：

室内二氧化碳浓度（单位： $p p m$ ）	人体生理反应
不高于1000	空气清新，呼吸顺畅
$1000 \sim 2000$	空气浑浊，觉得昏昏欲睡
$2000 ∼ 5000$	感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中
大于5000	可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡

《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于 $0.1 % (0.1 %$ 即为 $1000 p p m)$ ，所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为 $2000 p p m$ ，若开窗通风后二氧化碳浓度 $y %$ 与经过时间 $t$ （单位：分钟）的关系式为 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{9}} (λ \in R)$ ，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（）（参考数据： $l n 3 \approx 1.099 ， l n 5 \approx 1.609$ ）

A、8分钟 B、9分钟 C、10分钟 D、11分钟

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二、多选题

9. 已知 $θ \in (0 ， π) ， s i n θ + c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ B、 $c o s θ = \frac{3}{5}$ C、 $t a n θ = - \frac{3}{4}$ D、 $s i n θ \cdot c o s θ = - \frac{12}{25}$

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10. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} | x - 2 | + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过定点 $A$ ，且点 $A$ 在角 $θ$ 的终边上，则 $\frac{1}{t a n θ} + \frac{1}{s i n θ}$ 的值可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{13} + 3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集是 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x < - 3}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集是 ${x | - \frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}}$ D、 $a + b + c > 0$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象连续不断，若存在常数 $λ (λ \in R)$ ，使得 $f (x + λ) + λ f (x) = 0$ 对于任意的实数 $x$ 恒成立，则称 $f (x)$ 是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）

A、函数 $f (x) = a$ （其中 $a$ 为常数， $a \neq 0)$ 为回旋函数的充要条件是 $λ = - 1$ B、函数 $f (x) = 2 x + 1$ 是回旋函数 C、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 为回旋函数，则 $λ < 0$ D、函数 $f (x)$ 是 $λ = 2$ 的回旋函数，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2022]$ 上至少有1011个零点

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三、填空题

13. 已知 $t a n (π + α) = - 2$ ，则 $\frac{s i n α - 4 c o s α}{s i n α + c o s α} =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = x^{a}$ ，指数函数 $g (x) = a^{x}$ ，若 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上的最大值为4，则 $g (f (a + 1)) =$ .

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15. 若函数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 2 + a$ 在区间 $(1 ， 4)$ 内有零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 甲、乙两人解关于 $x$ 的方程 $2^{x} + b \cdot 2^{- x} + c = 0$ ，甲写错了常数 $b$ ，得到的根为 $x = - 2$ 或 $x = l o g_{2} \frac{17}{4}$ ，乙写错了常数 $c$ ，得到的根为 $x = 0$ 或 $x = 1$ ，则原方程所有根的和是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ a - 1 \leq x \leq 2 a + 1} ， B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 4}$ .在① $A \cup B = B$ ；②“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、若________，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 求下列各式的值：

(1)、已知 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个实根，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值；

(2)、化简 $\sqrt{8^{\frac{2}{3}}} - {(l o g_{25} 10)}^{- 1} + 4^{l o g_{2} 3} + \sqrt{4 l g^{2} 2 - 4 l g 2 + 1}$ ，并求值.

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19. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产 $x$ 台，需另投入成本 $G (x)$ 万元，且 $G (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 80 x ， 0 < x \leq 40 \\ 201 x + \frac{3600}{x} - 2020 ， 40 < x \leq 80 \end{array}$ ，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)、写出年利润 $W (x)$ 万元关于年产量 $x$ 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？

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20. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R) ， f (0) = \frac{1}{4} ， f (1) = 1$ ，且对任意的 $x ∈ R$ ，都有 $f (x - 2) = f (- x)$ 成立.

(1)、求二次函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = 4 f (x) - x + | x - λ |$ 的最小值为2，求实数 $λ$ 的值.

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21. 设函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x}$ （ $a > 0$ 且， $a \neq 1$ ， $k \in R$ ），若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数且 $f (1) = \frac{3}{2}$ .

(1)、求k和a的值；

(2)、判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式 $f (2 t + 3) < f (t^{2} - 5)$ 成立时，实数t的取值范围；

(3)、函数 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 6 f (x)$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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22. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图像如图所示，把函数 $f (- x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图像.

(1)、当 $x \in R$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间；

(2)、对于 $\forall x_{1} \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ ，是否总存在唯一的实数 $x_{2} \in [\frac{π}{6} ， \frac{3}{4} π]$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = m$ 成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由

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