河南省周口市太康县2022-2023学年高一上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设p： $x < - 1$ 或 $x > 1$ ， q： $x < - 2$ 或 $x > 1$ ，则p是q的（）条件．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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2. 与-2022°终边相同的最小正角是（）

A、138° B、132° C、58° D、42°

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3. 设a，b，c均为正数，且 $2^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a ， {(\frac{1}{2})}^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b ， {(\frac{1}{2})}^{c} = \log_{2} c$ ，则(　　)

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、b<a<c

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4. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ .若 $f (1) =$ 2，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) =$ （）

A、2 B、0 C、-2 D、4

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5. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12} (k \in Z)$ 对称 D、将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称

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6. 已知 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7. 若正数a，b满足a+b=2，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{9}{4}$ C、9 D、16

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8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 $y = {\begin{array}{l} 4 x ， 1 \leq x < 10 ， x \in N \\ 2 x + 10 ， 10 \leq x < 100 ， x \in N \\ 1.5 x ， x \geq 100 ， x \in N \end{array}$ ．其中 $x$ 代表拟录用人数， $y$ 代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）

A、15 B、25 C、40 D、130

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“对任意一个无理数 $x$ ， $x^{2}$ 也是无理数”是真命题 B、“ $x y > 0$ ”是“ $x + y > 0$ ”的充要条件 C、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \neq 0$ ” D、若“ $1 < x < 3$ ”的必要不充分条件是“ $m - 2 < x < m + 2$ ”，则实数 $m$ 的取值范围是 $[1, 3]$

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10. 已知 $c o s θ = \frac{4 - 2 m}{m + 5}$ ， $t a n θ = \frac{m - 3}{4 - 2 m}$ ，且 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，下面选项正确的是（）

A、 $m = 8$ B、 $m = 0$ 或 $m = 8$ C、 $s i n θ > c o s θ$ D、 $s i n^{2} θ + 2 s i n θ c o s θ = - \frac{95}{169}$

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11. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②若对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (x)$ 图象经过点 $P (\frac{π}{3} ， 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该函数解析式为 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ C、函数 $y = \sqrt{\sqrt{2} f (x) - 1}$ 的定义域为 $[- \frac{π}{24} + k π ， \frac{5 π}{24} + k π] (k \in Z)$ D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $b (b > 0)$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 的图象关于原点对称，则b的最小值为 $\frac{π}{3}$ .

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三、填空题

13. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n α c o s 2 α}{s i n α - c o s α} =$ .

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14. 若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 为偶函数，则 $m =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (ω x + φ) s i n (ω x + φ + \frac{π}{2})$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ，如图是 $y = f (x)$ 的部分图象，则 $f (\frac{π}{4}) =$

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + k x ， x \leq 1 \\ 2 x^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若存在 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a \neq b$ ，使得 $f (a) = f (b)$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${0.027}^{- \frac{1}{3}} - 16^{\frac{1}{4}} + {(\frac{1}{7})}^{_{0}} - \sqrt[4]{256}$

(2)、 $\log_{\frac{1}{4}} 2 + 2 \lg 4 + \lg \frac{5}{8} + e^{3 \ln 2}$

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18. 已知命题 $p ： \forall x \in {x | 0 \leq x \leq 4}$ ， $0 \leq x < 2 a$ ，命题 $q ： \exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + a < 0$ .

(1)、若命题 $\neg p$ 和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x - 1$ ．

(1)、设 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x + φ) + 4 m (m \in R) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $φ$ 的值，并求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 + 2 x) ， g (x) = l o g_{a} (3 - 2 x) ， (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x) - g (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x) - g (x)$ 的奇偶性(并予以证明)；

(2)、求使 $f (x) - g (x) > 0$ 的x的取值范围．

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21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产 $x$ 台，需另投入成本 $G (x)$ 万元，且 $G (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 80 x ， 0 < x \leq 40 \\ 201 x + \frac{3600}{x} - 2100 ， 40 < x \leq 100 \end{array}$ ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

(1)、写出年利润 $W (x)$ 万元关于年产量 $x$ 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x - 2 s i n x c o s x - s i n^{4} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值以及取得最小值时 $x$ 的集合．

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