河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $2 x + 2 y - 2023 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

查看试题解析
2. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{2} > 0$ ， $a_{4} a_{8} = 16$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、－4 B、2 C、4 D、 $\pm 4$

查看试题解析
3. 焦点坐标为 $(0 ， - \frac{1}{2})$ 的抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = - 4 y$ B、 $x^{2} = - 2 y$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = - 2 x$

查看试题解析
4. 直线l的方向向量为 $\vec{l}$ ，平面 $α$ 与 $β$ 的法向量分别为 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ，则 $\vec{l} \cdot \vec{m} = 0$ B、若 $l ∥ β$ ，则 $\vec{l} = k \vec{n}$ C、若 $α ⊥ β$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ D、若 $α ∥ β$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

查看试题解析
5. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

A、 $14 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $30 π$

查看试题解析
6. 方程 $m x^{2} + y^{2} = n$ （m，n为常数）不能表示的曲线是（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

查看试题解析
7. 直线 $y = 2 x - 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

查看试题解析
8. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为3，底面边长为2，则直线 $A B_{1}$ 与侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{130}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
9. 过点 $P (1 ， 1)$ 作直线l与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（）

A、0 B、1 C、2 D、不能确定

查看试题解析
10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C的两个焦点，P为C上一点， $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，若C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A、 $150 °$ B、 $120 °$ C、 $90 °$ D、 $60 °$

查看试题解析
11. 直线 $y = a (x + 3)$ 与曲线 $x^{2} - y | y | = 1$ 恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{4} ， 1)$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{4} ， + \infty)$

查看试题解析
12. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若 $| A F | = \frac{2}{3} | C F |$ ，且 $| A F | = 10$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{95}{6}$ B、 $\frac{100}{7}$ C、18 D、25

查看试题解析

二、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1 ， - 18 m)$ 与向量 $\vec{b} = (1 ， - m ， 2)$ 共线，则 $m =$ .

查看试题解析
14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是.

查看试题解析
15. 引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角 $α - l - β$ 的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B D = 4$ ， $C D = \sqrt{41}$ ，则该二面角的大小为.

查看试题解析
16. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为；第n个图形的周长为.

查看试题解析

三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = - 12$ ， $S_{5} = - 50$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值.

查看试题解析
18. 已知抛物线C： $y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $Q (- 2 ， t)$ 在C上， $| Q F | = 3$ ，圆M： $x^{2} + y^{2} - 2 p x + p^{2} - 3 = 0$ .

(1)、求C与M的标准方程；

(2)、过C上的点P作圆M的切线l，当l的倾斜角为 $120 °$ 时，求点P的坐标.

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ， E为CD的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD.

(1)、求点E到平面PBC的距离；

(2)、求平面PBC与平面PBE的夹角.

查看试题解析
20. 已知双曲线C与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线相同，且点 $A (2 ， 3)$ 在C上，直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ关于直线 $x = 2$ 对称.

(1)、求C的方程；

(2)、求直线l的斜率.

查看试题解析
21. 已知数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1) (\frac{2 a_{n}}{n} + 2)$ .

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{n} + 2}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + 2 n)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2 ， \frac{3}{2} \sqrt{3})$ ，点N为其左顶点，且MN的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设 $P (- 1 ， 0)$ ，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，证明：直线BD恒过定点.

查看试题解析