河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期理数1月新未来联考试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x + 1 < 0} ， B = {x | 2^{x} > 4} ， C = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，设全集 $U = R$ ，则 $C =$ （）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $A \cup (∁_{U} B)$ C、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ D、 $(∁_{U} A) ∪ (∁_{U} B)$

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2. 复数 ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i)}^{8} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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3. $(2 - x) (1 - x)^{4}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、16 B、 $- 9$ C、6 D、 $- 14$

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4. 已知圆 $C ： x^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上的点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 均满足 ${\begin{array}{l} x_{0} - y_{0} + 2 \geq 0 ， \\ x_{0} - 3 y_{0} \leq 0 ， \end{array}$ 则 $r$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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5. 已知点 $P$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 上任意一点，则点 $P$ 到抛物线 $C$ 的准线和直线 $l ： x - \sqrt{3} y + 7 = 0$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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6. 已知 $α ， β$ 均为锐角，且 $s i n α = 2 s i n β ， c o s α = \frac{1}{2} c o s β$ ，则 $s i n (α - β) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{4}{9} π$ D、 $\frac{8}{9} π$

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 8) = f (x) ， f (2022) = 0$ ，且当 $x \in (0 ， 4)$ 时， $f (x) = x^{2} - a x + 2$ ．若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在 $(- 4 ， 4)$ 上有且仅有四个实数解，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \frac{1}{4} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{4})$

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9. 已知直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线交于 $A ， B$ 两点，且点 $A$ 在第一象限. $O$ 为坐标原点，若 $| O A | = 2 | O B |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、2 D、5

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，且 $6 S = a^{2} s i n A + b^{2} s i n B$ .当 $\frac{a + b}{c}$ 取得最大值时， $c o s C$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 已知曲线 $y = x^{n} l n x (n \in N^{*})$ 与曲线 $y = 2 e l n x$ 在 $x = x_{n}$ 处的切线互相平行，记 $S_{n} = x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} ， T_{n} = x_{1} \cdot x_{2} ⋯ ⋯ \cdot x_{n}$ ，则（）

A、 $T_{n} > n + 1 ， S_{n} > T_{n} + l n T_{n} + 1$ B、 $T_{n} > n + 1 ， S_{n} < T_{n} + l n T_{n} + 1$ C、 $T_{n} < n + 1 ， S_{n} > T_{n} + l n T_{n} + 1$ D、 $T_{n} < n + 1 ， S_{n} < T_{n} + l n T_{n} + 1$

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二、多选题

12. 某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（）

A、该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍 B、该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多 C、该公司2021年营收总额约为20300万元 D、该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%

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三、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角 $θ$ 的大小为.

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递增，且在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上有最大值．则 $ω$ 的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} | e^{x} - 1 |$ .若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- a ， a) (x_{1} < x_{2} ， a > 0)$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在 $x = x_{1}$ ， $x = x_{2}$ 处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为.

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16. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的侧面展开图在以 $P$ 为圆心，2为半径的圆上，其中 $A_{1} ， A_{2}$ 为三棱锥的顶点 $A$ 在展开图中的对应点.已知 $B C = 2 \sqrt{3} ， B A_{1} = C A_{2} = \sqrt{10}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的半径为.

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四、解答题

17. 在如图所示的七面体 $E F G - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $E F ∥ A B ， F G ∥ B C ， A E ⊥$ 平面 $A B C D$ .已知 $F E = F G = 1 ， A B = 2$ .

(1)、设平面 $A B F E ∩$ 平面 $G C D = l$ ，证明： $l$ $∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若平面 $B C G F ⊥$ 平面 $E D G$ ，求 $A E$ 的长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且 $k S_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1} (n \in N^{*} ， k \in R)$ .

(1)、若 $k = 2$ ，证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{S_{2 n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每个“次密接"人员被感染的概率为 $\frac{1}{4}$

(1)、求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；

(2)、设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (1 < b < 3)$ 的上､下顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P (t ， 1) (t > 0)$ 在椭圆内，且直线 $P A ， P B$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $E ， F$ 两点，直线 $E F$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．已知 $t a n ∠ P A B = 3 t a n ∠ P B A$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $△ A Q E$ 的面积为 $S_{1} ， △ B Q F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x - a l n x ， g (x) = \frac{b}{x} - e^{x - 1} (x > 0)$ ，其中 $a > 0 ， b \in [\frac{1}{2 \sqrt{e}} ， 1] ， e$ 是自然对数的底数.

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = \frac{f (x) + g (x) - | f (x) - g (x) |}{2}$ ，证明：存在唯一的正实数 $a$ ，使得 $h (x)$ 恰好有两个零点.

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22. 在极坐标系中，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 4$ ．以极点为坐标原点，以极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ．

(1)、求圆 $C$ 及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若射线 $θ = α (ρ > 0)$ 分别与圆 $C$ 和直线 $l$ 交于 $P ， Q$ 两点，其中 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $\frac{| O P |}{| O Q |}$ 的最大值．

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23. 已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $\frac{1}{b + c}$ 的最大值；

(2)、证明： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \leq \frac{1}{2}$ ．

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