河南省开封市2022-2023学年高三上学期理数1月期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 定义集合 $A + B = {x + y | x \in A$ 且 $y \in B}$ .已知集合 $A = {2 ， 4 ， 6}$ ， $B = {- 1 ， 1}$ ，则 $A + B$ 中元素的个数为（）

A、6 B、5 C、4 D、7

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2. $\frac{1 + 4 i}{2 - 4 i}$ 的实部与虚部之和为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $- \frac{1}{10}$ C、 $\frac{13}{10}$ D、 $- \frac{13}{10}$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 14$ ， $\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1}} - 3$ ，则（）

A、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} + 3}$ 是等比数列 B、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} - 3}$ 是等比数列 C、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} + \frac{3}{2}}$ 是等比数列 D、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} - \frac{3}{2}}$ 是等比数列

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4. 过点 $(1 ， 2)$ 作直线，使它与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 仅有一个公共点，这样的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 将 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内是增函数

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6. 已知三个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$

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7. 已知 $A ， B ， C$ 为球 $O$ 球面上的三个点，若 $A B = B C = A C = 3$ ，球 $O$ 的表面积为 $36 π$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $i =$ （）

A、5 B、6 C、8 D、7

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9. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{9^{x}} - \frac{2}{3^{x}} + \frac{x^{2} + 2}{2 x^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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10. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，若点 $P$ 的纵坐标为1， $| P A | = \sqrt{13}$ ， $| P B | = 2$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{42}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{53}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{4}$

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11. 已知 $l n 2 \approx 0.69$ ，设 $a = \frac{27}{1 0^{l g 8}}$ ， $b = \frac{3 . 1^{3}}{2^{3.1}}$ ， $c = \frac{109}{33}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $A P = P D = B C = 2$ ， E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则 $B M + M N$ 的最小值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} | x | \leq 3 ， \\ | y | \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为.

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14. 若从区间 $[- 2 ， 5]$ 内，任意选取一个实数 $a$ ，则曲线 $y = x^{3} + a x^{2}$ 在点 $(1 ， a + 1)$ 处的切线的倾斜角大于45°的概率为.

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列 ${a_{n}}$ 由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{n} + 96}{n}$ 的最小值为．

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16. 某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有种．

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三、解答题

17. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边.已知 $7 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ .

(1)、求 $s i n 2 A$ ；

(2)、若 $b + c = 9$ ， $a^{2} = 12 b^{2} + 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．

(1)、求甲获得奖金的期望；

(2)、已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $D E ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．

(1)、证明： $C E / /$ 平面PAB．

(2)、若 $P A = A D = 5$ ， $A B = 2$ ， $D E = 3$ ，且 $\vec{A F}$ 在 $\vec{A D}$ 上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = a x - a l n (x + 1)$ ．

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - l n x$ 的单调性；

(2)、若 $x = 0$ 是函数 $h (x) = f (x) - s i n x + x c o s x$ $(- 1 < x < 1)$ 的极小值点，求a的取值范围．

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21. 已知O为坐标原点，M是椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，点N满足 $\vec{O N} = \sqrt{3} \vec{O M}$ ，设点N的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程．

(2)、若点A，B，C，D在椭圆 $C_{1}$ 上，且 $\vec{C D} = 2 \vec{A B} ， A C$ 与 $B D$ 交于点P，点P在 $C_{2}$ 上．证明： $△ P C D$ 的面积为定值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{t} \\ y = t - 1 \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $4 ρ c o s θ - ρ s i n θ - 4 = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $P (0 ， - 4)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

(3)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

(4)、若不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集包含 $[- 1 ， a^{2} + \frac{2}{9}]$ ，求a的取值范围．

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