河北省邯郸市魏县2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $⋯$ 、 $A_{7}$ 是均含有 $2$ 个元素的集合，且 $A_{1} \cap A_{7} = \emptyset$ ， $A_{i} \cap A_{i + 1} = \emptyset (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 6)$ ，记 $B = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ⋯ \cup A_{7}$ ，则 $B$ 中元素个数的最小值是（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (x + 1) + f (x) = 0$ ”是“ $f (x)$ 是周期为2的周期函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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3. 已知命题 $p$ ：任意 $x \in [1 ， 2] ， x^{2} - a ⩾ 0$ ，命题 $q$ ：存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 - a = 0$ ，若“ $p$ 且 $q$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a ⩽ - 2$ B、 $a \leq 1$ C、 $a ⩽ - 2$ 或 $a = 1$ D、 $a > - 2$ 且 $a \neq 1$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x - 2)$ 为偶函数， $f (x - 2) + f (- x) = 0$ ，当 $x \in [- 2 ， - 1]$ 时， $f (x) = \frac{1}{a^{x}} - a x - 4$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），且 $f (- 2) = 4$ ．则 $\sum_{k = 1}^{13} | f (k) | =$ （）

A、16 B、20 C、24 D、28

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5. 下列命题中，正确的有（）个
①对应： $A = R ， B = R ， f ： x \to y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ 是映射，也是函数；
②若函数 $f (x - 1)$ 的定义域是（1，2），则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{， 1}{2})$ ；
③幂函数 $y = x^{- \frac{2}{3}}$ 与 $y = x^{4}$ 图像有且只有两个交点；
④当 $b > 0$ 时，方程 $| 2^{x} - 1 | - b = 0$ 恒有两个实根.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知定义域为R的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足： $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ．若存在实数a，使得关于x的不等式 $(n f (x) - a) (g (x) - a) \leq 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则正整数n的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l g | x - 2 | ， x \neq 2 \\ 1 ， x = 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) + b f (x) + c = 0$ 恰有5个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5})$ 等于（）

A、1 B、 $2 l g 2$ C、 $3 l g 2$ D、0

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - \frac{1}{4} s i n π x$ ．若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、若 $a < b < 0$ ，则 ${(\frac{1}{a})}^{3} > {(\frac{1}{b})}^{3}$ C、若 $x (x - 2) < 0$ ，则 $\log_{2} x \in (0, 1)$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b \leq 1$ ，则 $0 < a b \leq \frac{1}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2}{x^{2} + 1} (a ， b \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists a ， b ∈ R$ ， $f (x)$ 为奇函数 B、 $\exists b \in R ， \forall a \in R$ ， $f (x)$ 为偶函数 C、 $\exists a ， b ∈ R$ ， $f (x)$ 的值为常数 D、 $\exists b \in R ， \forall a \in R$ ， $f (x)$ 有最小值

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11. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在闭区间 $[a ， b] \subseteq D$ ，使得函数 $f (x)$ 同时满足① $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上是单调函数；② $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[k a ， k b] (k > 0)$ ，则称区间 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（）

A、 $f (x) = l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ C、 $f (x) = x^{2} (x \geq 0)$ D、 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}} (0 \leq x \leq 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = | s i n x | c o s x ， x \in R$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ B、函数 $f (x)$ 是一个偶函数，也是一个周期函数 C、直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、方程 $f (x) = l o g_{4} x$ 有且仅有一个实数根

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 的解集为空集，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知定义在整数集合 $Z$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意的 $x$ ， $y \in Z$ ，都有 $f (x + y) + f (x - y) = 4 f (x) f (y)$ 且 $f (1) = \frac{1}{4}$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2016) =$ .

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15. 已知 $f (x) = l n \frac{x + 8}{2 - x}$ 定义域为 $D$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，当 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ 时，则 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 的最小值是．

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16. 在函数 $f (x) = s i n (2 x - φ) (φ > 0)$ 图象与x轴的所有交点中，点 $(\frac{φ}{2} ， 0)$ 离原点最近，则 $φ$ 可以等于（写出一个值即可）．

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四、解答题

17. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为 $T_{A} = M - m$ ，若集合A中只有一个元素，则 $T_{A} = 0$ .

(1)、若 $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，求 $T_{A}$ ；

(2)、若 $A = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 9} ， A_{i} = {a_{i} ， b_{i} ， c_{i}} \subseteq A ， A_{i} ∩ A_{j} = \emptyset (i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， i \neq j)$ ， $A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} = A$ ，求 $T_{A_{1}} + T_{A_{2}} + T_{A_{3}}$ 的最大值，并写出取最大值时的一组 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ ；

(3)、若集合 $N^{*}$ 的非空真子集 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， ⋯ ， A_{n}$ 两两元素个数均不相同，且 $T_{A_{1}} + T_{A_{2}} + T_{A_{3}} + ⋯ + T_{A_{n}} = 55$ ，求n的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) (x - 1) ， a \in R$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，解不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ .

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19. 对于在某个区间 $[a ， + \infty)$ 上有意义的函数 $f (x)$ ，如果存在一次函数 $g (x) = k x + b$ 使得对于任意的 $x \in [a ， + \infty)$ ，有 $| f (x) - g (x) | \leq 1$ 恒成立，则称函数 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上的弱渐近函数．

(1)、判断 $g (x) = x$ 是否是函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数，并说明理由．

(2)、若函数 $g (x) = 3 x + 1$ 是函数 $f (x) = 3 x + \frac{m}{x}$ 在区间 $[4 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；

(3)、是否存在函数 $g (x) = k x$ ，使得 $g (x)$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

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20. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
$[0 ， 36000]$
3
0
2
$(36000 ， 144000]$
10
2520
3
$(144000 ， 300000]$
20
16920
…
…
…
…

(1)、设全年应纳税所得额为 $t$ （不超过300000元）元，应缴纳个税税额为 $y$ 元，求 $y = f (t)$ ；

(2)、小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

(3)、设小王全年综合所得收入额为 $x$ （不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为 $y$ 元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？
注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + (s i n x + c o s x - 1) | s i n x + c o s x - 2 a |$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{0}) = \frac{3}{4}$ ，求 $s i n 2 x_{0}$ 的值；

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式并求出 $g (a)$ 的最小值.

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 的长 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，宽 $A B = 1$ ， $A ， D$ 两点分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上移动， $B ， C$ 两点在第一象限.求 $O B^{2}$ 的最大值.

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级数	全年应纳税所得额所在区间	税率（%）	速算扣除数
1	$[0 ， 36000]$	3	0
2	$(36000 ， 144000]$	10	2520
3	$(144000 ， 300000]$	20	16920
…	…	…	…