河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点(不包括顶点)，平面 $B F D_{1}$ 交棱 $C C_{1}$ 于点E，则下列命题中正确的是（）

A、存在点F，使得 $∠ D_{1} F B$ 为直角 B、对于任意点F，都有直线 $A_{1} C_{1}$ ∥平面 $B E D_{1} F$ C、对于任意点F，都有平面 $A_{1} C_{1} D ⊥$ 平面 $B E D_{1} F$ D、当点F由 $A_{1}$ 向A移动过程中，三棱锥 $F - B B_{1} D_{1}$ 的体积逐渐变大

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2. 已知 $P_{1} (a_{1} ， b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2} ， b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1 (k$ 为常数)上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组的解的情况是（）

A、无论 $k ， P_{1} ， P_{2}$ 如何，总是无解 B、无论 $k ， P_{1} ， P_{2}$ 如何，总有唯一解 C、存在 $k ， P_{1} ， P_{2}$ ，使之恰有两解 D、存在 $k ， P_{1} ， P_{2}$ ，使之有无穷多解

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3. 在平面直角坐标系中，已知点 $P (a ， b)$ 满足 $| a | + | b | = 1$ ，记 $d$ 为点 $P$ 到直线 $x - m y - 2 = 0$ 的距离.当 $a ， b ， m$ 变化时， $d$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知点 $P$ 在直线 $l$ ： $3 x + 4 y - 20 = 0$ 上，过点 $P$ 的两条直线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 分别相切于 $A ， B$ 两点，则圆心 $O$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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5. 已知 $A (- 1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ， B (1 ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ， P (x_{0} ， y_{0})$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上不同的三点，直线 $l ： x = 2$ ，直线 $P A$ 交 $l$ 于点 $M$ ，直线 $P B$ 交 $l$ 于点 $N$ ，若 $S_{△ P A B} = S_{△ P M N}$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、0 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线的渐近线上一点，满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ， $| O P | = \frac{\sqrt{2}}{2} | F_{1} F_{2} |$ （ $O$ 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{14}}{5}$ D、 $\sqrt{\frac{6 + 3 \sqrt{2}}{7}}$

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7. 点 $P$ 在直线 $l ： y = x + p (p > 0)$ 上，若存在过 $P$ 的直线交抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $A ， B$ 两点，且 $2 | P A | = | A B |$ ，则称点 $P$ 为“M点”，那么下列结论中正确的是（）

A、直线 $l$ 上的所有点都是“ $M$ 点” B、直线 $l$ 上仅有有限个点是“M点” C、直线 $l$ 上的所有点都不是“M点” D、直线 $l$ 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ $M$ 点”

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8. 正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（）

A、3991 B、3993 C、3994 D、3997

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、若 $a < b < 0$ ，则 ${(\frac{1}{a})}^{3} > {(\frac{1}{b})}^{3}$ C、若 $x (x - 2) < 0$ ，则 $\log_{2} x \in (0, 1)$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b \leq 1$ ，则 $0 < a b \leq \frac{1}{4}$

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A ， B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - y = 0$ B、公共弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{2}$ C、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ D、 $P$ 为圆 $O_{2}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右焦点为 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点 $F (- 4 ， 0)$ ，若 $△ A B F$ 为锐角三角形，则下列说法正确的是（）

A、双曲线过点 $(- 2 ， 0)$ B、直线 $3 x - y = 0$ 与双曲线有两个公共点 C、双曲线的一条渐近线 $y = \frac{b}{2} x$ 的斜率小于 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、双曲线的离心率取值范围为 $(1 ， \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$

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12. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得 $f (x)$ 在这两点处的切线重合，则称函数 $y = f (x)$ 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）

A、 $y = s i n x + c o s x$ B、 $y = s i n (c o s x)$ C、 $y = x + s i n x$ D、 $y = x^{2} + s i n x$

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三、填空题

13. 阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $x - 3 y + 7 = 0$ 与 $4 y + 2 z + 1 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为．

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14. 已知 $P$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一动点，且满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B | ， A B = 2$ ，则动点 $P$ 运动轨迹的周长为.

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15. 设 $P (x ， y)$ 是曲线 $C ： \sqrt{\frac{x^{2}}{25}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{16}} = 1$ 上的点， $F_{1} (- 3 ， 0)$ ， $F_{2} (3 ， 0)$ ，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 的最大值等于．

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16. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，定义数列 ${x_{n}}$ 如下： $x_{1} = 2$ ， $x_{n + 1}$ 是过两点 $P (4 ， 5)$ 、 $Q_{n} (x_{n} ， f (x_{n}))$ 的直线 $P Q_{n}$ 与x轴交点的横坐标，数列 ${x_{n}}$ 的通项公式为.

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四、解答题

17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = \frac{1}{2} D E = 1$ ， $A D ⊥ D C$ .

(1)、求证： $A E ∥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、若 $B F = 1$ ，求 $E F$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E F ⊥$ 平面 $A C F$ ，求平面 $A C E$ 与平面 $A C F$ 夹角的余弦值.

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18. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0 ， 1) ， B (0 ， 4) ，$ 平面内动点P满足 $2 | P A | = | P B |$ ．

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、点P轨迹记为曲线 $τ$ ，若C，D是曲线 $τ$ 与 $x$ 轴的交点，E为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，直线CE，DE与曲线 $τ$ 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求 $\frac{1}{{| M Q |}^{2}} + \frac{1}{{| N Q |}^{2}}$ 的最小值．

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19. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 且与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、若双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，求双曲线 $C$ 的焦点坐标；

(2)、设 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，求 $l$ 的斜率；

(3)、设 $l$ 的斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ ，且 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，求双曲线 $C$ 的离心率.

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20. 设 $λ$ 为正实数，若各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足： $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} \geq a_{n} + λ$ ．则称数列 ${a_{n}}$ 为 $P (λ)$ 数列．

(1)、判断以下两个数列是否为 $P (2)$ 数列：
数列 $A$ ：3，5，8，13，21；
数列 $B$ ： $l o g_{2} 5$ ， $π$ ， 5，10．

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} > 0$ 且 $b_{n + 1} = b_{n} + \sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 1}$ ，是否存在正实数 $λ$ ，使得数列 ${b_{n}}$ 是 $P (λ)$ 数列？若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

(3)、若各项均为整数的数列 ${a_{n}}$ 是 $P (1)$ 数列，且 ${a_{n}}$ 的前 $m (m \geq 2)$ 项和 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{m}$ 为150，求 $a_{m} + m$ 的最小值及取得最小值时 $a_{m}$ 的所有可能取值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{a x} (a > 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq x - \frac{1}{a}$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、若 $x_{2} l n x_{1} + x_{1} l n x_{2} = 0 (x_{1} \neq x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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22. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $P (- 1 ， - \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $R (0 ， 2)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M ， N$ （均与 $P$ 不重合），证明：直线 $P M ， P N$ 的斜率之和为定值．

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