河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 1} ， B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = A$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $A ∩ B = B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若双曲线 $x^{2} - m^{2} y^{2} = λ (λ \neq 0)$ 的两条渐近线互相垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、2 D、 $\pm 2$

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4. 已知 $s i n α = \frac{1}{2} + c o s α$ ，则 $\frac{c o s (π - 2 α)}{s i n (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足 $| z - 1 | \leq | \frac{z}{\bar{z}} |$ 的复数z的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 函数 $f (x) = x s i n 2 π x - 1$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的零点个数为（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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7. 将函数 $f (x)$ 的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线 $y = 4^{x}$ 关于直线 $x = 1$ 对称，则 $f (- \frac{1}{2}) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、4

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8. 已知O是 $△ A B C$ 的外心，且满足 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，若 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{9}{10} \vec{B C}$ ，则 $c o s ∠ A O C =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3} - x) = f (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x)$ 的图象与函数 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象重合 C、 $f (x + \frac{π}{6}) + f (- \frac{π}{2} - x) = 0$ D、存在唯一的 $x_{0} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{0}) = \frac{9}{10}$

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10. 设A，B是两个随机事件，且 $0 < P (A) < 1 ， 0 < P (B) < 1$ ，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（）

A、 $P (A + B) = P (B)$ B、 $P (B | A) = \frac{P (A)}{P (B)}$ C、 $P (A | B) = 1$ D、 $P (A B) = P (A)$

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11. 已知 $m > 1 ， n > 1$ ，若 $e^{m} > m e^{n + 1} - n e^{m}$ ，则（）

A、 $\frac{e^{m}}{m} > \frac{e^{n + 1}}{n + 1}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{m - 1} > {(\frac{1}{2})}^{n}$ C、 $2^{m - 4} + 2^{- n} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $l o g_{3} (m + n) > 1$

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12. 已知曲线C的方程为 $\sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - 4 y^{2}} = 2 x y$ ，点P在C上，O为坐标原点，则（）

A、曲线C关于原点对称 B、 $\frac{1}{2} \leq | O P | \leq 1$ C、设C与坐标轴所围成图形的面积为S，则 $\frac{3}{2} < S < 2$ D、若M是直线 $y = - \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$ 上的一点，则 $| P M | \geq \frac{\sqrt{10}}{5}$

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三、填空题

13. 若直线 $l ： a x - y + 2 - a = 0 (a \in R)$ 与圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ 相交于A，B两点，当 $| A B |$ 取得最小值时，直线l的斜率为.

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14. 9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的下四分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是（写出一个满足条件的m值即可）．

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15. ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中，有理项是.（用关于x的式子表示）

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16. 如图，某正方体的顶点A在平面 $α$ 内，三条棱 $A B ， A C ， A D$ 都在平面 $α$ 的同侧.若顶点B，C，D到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， 2，则该正方体外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}$ ， $a_{1} = m$ ， m为常数.

(1)、求证： ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列；

(2)、若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，求实数m的取值范围.

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 上一点，若 $\vec{A D} = 3 \vec{A E} ， A B = \sqrt{3} ， B E = 1 ， A = \frac{π}{6}$ .

(1)、求证： $∠ A B D > \frac{π}{2}$ ；

(2)、若 $B D = \sqrt{3} A E ， C D = 1 ， ∠ C = 2 ∠ C B D$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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19. 如图1，已知 $A B C D$ 是上下底边长分别为2和6，高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形，将它沿对称轴 $O O_{1}$ 折起，并连接 $A B ， C D$ 得到如图2所示的几何体 $O A B C D O_{1}$ .

(1)、判断几何体 $O A B C D O_{1}$ 是哪种简单几何体，并证明；

(2)、在几何体 $O A B C D O_{1}$ 中，若二面角 $A - O O_{1} - B$ 为直二面角，求二面角 $O - A C - O_{1}$ 的余弦值.

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20. 2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船.这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域.近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如下表：

不填报
填报
非第一志愿填报
第一志愿填报
男生
x
5
2
女生
y
1
0

(1)、完成列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？

男生
女生
总计
不填报
填报
总计
20

(2)、从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{(a + b + c + d) (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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21. 设函数 $f (x) = a e^{2 x} - (2 x + 1) e^{x} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a < 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， + \infty)$ 上有极值，求实数a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P到点 $F (1 ， 0)$ 的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程；

(2)、设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线 $P A ， O P ， P B$ 的斜率成等差数列.

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	不填报	填报
	不填报	非第一志愿填报	第一志愿填报
男生	x	5	2
女生	y	1	0

$α$	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828