河北省邯郸市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {x | 0 < x \leq a}$ ，若 $A ∪ B = {x ∣ - 1 < x \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 0}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 3}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 - i}{3 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5} i$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) =$ （）

A、 $\sqrt{3} - 4$ B、 $3 \sqrt{3} - 4$ C、 $- 2$ D、1

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4. 已知幂函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (6)}{f (2)} = 4$ ，则 $f (\frac{1}{3})$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- 2$

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5. 已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为 $\frac{π}{4}$ 的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为（）

A、 $2 ： 1$ B、 $3 ： 1$ C、 $4 ： 1$ D、 $5 ： 1$

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6. 甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A：甲和乙选择的地点不同，事件B：甲和乙恰有一个选择北京，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中， $△ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，则“ $△ A B C$ 的欧拉线方程为 $x = - 1$ ”是“点C的坐标为 $(- 2 ， 2)$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $l g a = 1 - 2 l g b$ ，则 $l o g_{a} 2 + l o g_{b} 4$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、 $9 l g 2$ D、 $8 l g 2$

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二、多选题

9. 对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是（）

A、 $r_{1} < 0$ B、 $r_{2} > 1$ C、 $r_{1} + r_{2} > 0$ D、 $| r_{1} | > | r_{2} |$

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10. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $| a_{4} | = | a_{10} |$ ，公差 $d > 0$ ，则使其前n项和 $S_{n}$ 取得最小值的正整数n是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的上、下焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点P在双曲线上且位于x轴上方，则下列结论正确的是（）

A、线段 $| P F_{1} |$ 的最小值为1 B、点P到两渐近线的距离的乘积为 $\frac{20}{9}$ C、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为5 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心在直线 $y = 2$ 上

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、四面体 $A_{1} D_{1} A P$ 的体积为定值 B、 $A P + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、当直线 $A_{1} P$ 与AC所成的角最大时，四面体 $A_{1} P C A$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2^{x} + 1}{2^{x + 1} + a}$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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14. 已知 $c o s (x + \frac{π}{12}) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (2 x + \frac{2 π}{3}) =$ .

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15. 近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，若 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 在抛物线C上，且满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ∠ P_{3} F P_{1} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $a c o s C + \frac{1}{2} c = b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c - \frac{1}{2} b$ 的取值范围.

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $a_{n}^{2} + 3 a_{n} = 6 S_{n} + 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{28} \leq T_{n} < \frac{1}{12}$ .

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19. 如图，在多面体 $A B C D E$ 中， $△ A E B$ 为等边三角形， $A D / / B C ， B C ⊥ A B ，$ $C E = 2 \sqrt{2} ，$ $A B = B C = 2 A D = 2$ .

(1)、求证：平面 $D E C ⊥$ 平面 $E B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $D E C$ 所成角的正弦值.

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20. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队 $1 ： 2$ 不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为 $\frac{1}{3}$ ，在B处射门的命中率为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2且过点 $M (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $T (8 ， 0)$ 作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 x$ （其中e为自然对数的底数）.

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知 $x_{0}$ 是 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 的极大值点，若 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，且 $x_{2} < x_{1} < 0$ .证明： $l n (x_{1} + x_{2} + 2) > 2 x_{0} + l n 2$ .

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