浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-03-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质.如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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2. 抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = - 1$ B、直线 $x = 1$ C、直线 $x = - 3$ D、直线 $x = 3$

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3. 下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（）

A、黄河入海流 B、大漠孤烟直 C、汗滴禾下土 D、手可摘星辰

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4. 已知 $⊙ O$ 的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（）

A、 $d \leq 3$ B、 $d = 3$ C、 $d > 3$ D、 $0 \leq d < 3$

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5. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，正六边形的周长是12，则 $⊙ O$ 的半径是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，已知直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F， $D E = 3$ ， $E F = 6$ ， $A B = 4$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、15 B、12 C、10 D、8

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7. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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8. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“ $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ ，垂足为E， $C E = 1$ 寸， $A B = 6$ 寸，求直径 $C D$ 的长？”依题意得 $C D$ 的长为（）

A、4寸 B、5寸 C、8寸 D、10寸

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9. 二次函数 $y = m x^{2} - 2 m^{2} x + n$ 图象经过点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (7 ， y_{2})$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $0 < m < 2$ B、 $m < 0$ 或 $m>2$ C、 $- 3 < m < 0$ D、 $m < - 3$ 或 $m > 7$

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10. 一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 $A B C D \sim$ 矩形 $B E F G$ .设矩形 $A B C D$ 与矩形 $A H I E$ 的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（）

A、 $4 m$ B、 $2 m + 3 n$ C、 $m + 3 n$ D、 $3 m + n$

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二、填空题

11. 若 $3 x = 4 y$ ，则 $x ： y =$ .

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12. 写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点：.

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13. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A = 130 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为.

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14. 某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：

每次试验粒数

50

100

300

400

600

1000

发芽频数

47

96

284

380

571

948

估计这批青稞发芽的概率是.（结果保留到0.01）

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点F为 $A B$ 的中点，点E在 $A D$ 上，且 $E D = 2 A E$ ，在边 $C D$ 上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与 $△ A E F$ 相似，则 $D P$ 的长为.

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16. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C > A C$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，连接 $C O$ 并延长至点E，使 $∠ E A C = ∠ A B C = 60 °$ .

(1)、 $⊙ O$ 的半径为.

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $B E$ 的长为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $2 \sin 30 ° - 4 \cos 60 ° + \tan 45 °$ ；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像过点 $(1 ， 0)$ 和 $(3 ， 0)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值.

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18. 宁波方特东方欲晓是一座以红色文化为主题的大型主题公园，公园精心策划了多个历史主题区域，其中最有特色的三个游玩项目如下表所示.

$A$

$B$

$C$

《圆明园》

《致远致远》

《䳸击长空》

小慈和小溪两名同学去景区游玩，他们各自在这3个项目中任选一个进行游玩，每个项目被选择的可能性相同.

(1)、求小慈选择《致远致远》的概率是多少？

(2)、用画树状图或列表的方法，求小慈和小溪选择不同项目的概率.

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19. 如图是由边长为1的小正方形构成的 $8 \times 6$ 的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.

(1)、将 $△ A B C$ 绕C点按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ，请在图1中作出 $△ A_{1} B_{1} C$ .

(2)、在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段 $A C$ 上找一点M，使得 $\frac{A M}{A C} = \frac{2}{5}$ .

(3)、在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得 $∠ B N C = 2 ∠ A$ .（请涂上黑点，注上字母）

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20. 如图， $C D$ 是 $Rt △ A B C$ 的中线， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ .

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ C A E$ .

(2)、若 $A C = 8$ ， $A B = 10$ ，求 $A E$ 的长.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $C A$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、求证：点 $D$ 为线段 $B C$ 的中点.

(2)、若 $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $A E = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径及阴影部分的面积.

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22. 如图1，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，水平底座长 $A D = 10 cm$ ，伸缩臂 $A B$ 长度可调节 $(10 cm \leq A B \leq 15 cm)$ ，并且可绕点A上下转动，转动角 $α$ 变动范围是 $0 ° < α \leq 90 °$ ，手机支撑片 $E C$ 可绕点B上下转动， $B C = 10 cm$ ，转动角 $β$ 变动范围是 $0 ° < β \leq 90 °$ .小明使用该支架进行线上学习，当 $β \geq 30 °$ ，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适.

(1)、如图3，当 $α = 90 °$ ， $β = 50 °$ ， $A B = 12 cm$ 时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求.（参考数据 $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

(2)、如图2，当 $α = 60 °$ ， $β = 90 °$ 的情况下， $A B$ 至少要伸缩到多少cm时才能恰好满足小明使用的舒适要求？（精确到1cm.参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点B，在x轴上有一动点 $E (m ， 0) (0 < m < 4)$ ，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交拋物线于点P，过点P作 $P M ⊥ A B$ 于点M.

(1)、求a的值及 $\cos ∠ B A O$ .

(2)、求 $P N$ 的最大值.

(3)、设 $△ P M N$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A E N$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{36}{25}$ ，求此时m的值.

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24. 如图， $⊙ O$ 的两条弦 $A B$ ， $C D$ 互相垂直，垂足为 $E$ ，直径 $C F$ 交线段 $B E$ 于点 $G$ ，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A F}$ .

(1)、求证： $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B F}$ .

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $A B = 6$ ，求 $A G$ 的长.

(3)、设 $\frac{B G}{A E} = x (1 < x < 2)$ .
①若点 $E$ 为 $A G$ 中点，求 $x$ .

②若 $\frac{F G}{C G} = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式.

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每次试验粒数	50	100	300	400	600	1000
发芽频数	47	96	284	380	571	948

$A$	$B$	$C$
《圆明园》	《致远致远》	《䳸击长空》