四川省成都市锦江区2023年九年级一诊数学试题

试卷更新日期：2023-03-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，是一个由长方体截去一部分后得到的几何体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{4}{x}$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = \frac{x}{3}$ D、 $y = x^{2}$

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3. 若关于x的一元二次方程x²﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）

A、1 B、﹣3 C、3 D、4

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4. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）

A、 $a = 2 \sqrt{2}$ B、 $m = 2 n$ C、 $x = 2$ D、 $∠ α = 60 °$

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5. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 是菱形，其中点B的坐标是 $(6 ， 2)$ ，点D的坐标是 $(0 ， 2)$ ，点A在x轴上，则点C的坐标是（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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6. 一个不透明的箱子里共装有m个球，其中红球5个，这些球除颜色不同外其余都相同.每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（）

A、1 B、5 C、20 D、25

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7. 如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段 $A B$ 缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，则点A的对应点为（）

A、点D或点G B、点E或点F C、点D或点F D、点E或点G

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，点E，F分别是 $A O$ ， $A D$ 的中点，连接 $E F$ ，则 $△ A E F$ 的周长为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

9. 若 $\frac{b}{a} = 2$ 则 $\frac{b}{a + b}$ = .

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10. 关于x的一元二次方程 $(x - 1)^{2} = a + 1$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

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11. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系为.

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12. 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得 $A C = 5$ ， $∠ B = 60 °$ .接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时 $A^{'} C^{'}$ 的长为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交 $C B$ 于点D，交 $C A$ 于点E，连接 $D E$ ；②以点B为圆心，以 $C D$ 长为半径作弧，交 $B A$ 于点F；③以点F为圆心，以 $D E$ 的长为半径作弧，在 $△ A B C$ 内与前一条弧相交于点G；④连接 $B G$ 并延长交AC于点H，若H恰好为 $A C$ 的中点，则 $A C$ 的长为.

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14. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2023 = 0$ 的两个根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ 的值为.

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，过点O作 $O E ⊥ B D$ ，交 $A D$ 于点E，若 $∠ A C B = 20 °$ ，则 $∠ A O E$ 的大小为.

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A O B$ 的顶点A在函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边 $A O$ ， $A B$ 分别交的函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象于点M，N.连接 $M N$ ，若 $M N ∥ x$ 轴，则 $△ A O B$ 的面积为.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 12$ ，点P是DC上一点，且 $D P = 5$ ，点E，F分别是 $A D ， B C$ 上的动点，连接 $E F ， A P$ ，始终满足 $E F ⊥ A P$ .连接 $A F ， P F ， P E$ ，记四边形 $A E P F$ 的面积为 $S_{1}$ ，记 $△ A B F$ 的面积为 $S_{2}$ ，记 $△ F C P$ 的面积为 $S_{3}$ ，记 $△ E D P$ 的面积为 $S_{4}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2} + S_{3} + S_{4}} =$ .

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的顶点A，C的坐标分别为 $A (- 1 ， 1)$ ， $C (1 ， - 1)$ .已知线段 $M N$ 的端点M，N的坐标分别为 $M (3 ， 3)$ ， $N (\frac{7}{2} ， \frac{3}{2})$ ，平移线段 $M N$ ，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形 $A B C D$ 的边上，此时正方形 $A B C D$ 被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为；已知线段 $P Q$ 的端点坐标分别为 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ， $P Q = 2$ .平移线段 $P Q$ ，使得平移后的线段 $P^{'} Q^{'}$ 的两个端点均落在正方形 $A B C D$ 的边上，且线段 $P^{'} Q^{'}$ 将正方形的 $A B C D$ 面积分为 $6 ： 19$ 两部分，取 $P^{'} Q^{'}$ 的中点H，连接 $O H$ ，则 $O H$ 的长为.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $\sqrt{4} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + | \sqrt{5} - 2 | - {(- 3)}^{0}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 1 + 3 (x + 1) = 0$ .

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20. 中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日至22日在北京举行，这是一次具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响.某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：

(1)、求该校参加知识问答赛的学生人数；

(2)、求扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数；

(3)、现准备从结果为A级的4人（两男两女）中随机抽取两名同学参加二十大宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的概率.

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21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度 $D E = 3.5 m$ ，点F到地面的高度 $C F = 1.5 m$ ，灯泡到木板的水平距离 $A C = 5.4 m$ ，木板到墙的水平距离为 $C D = 4 m$ .图中A，B，C，D在同一条直线上.

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求灯泡到地面的高度 $A G$ .

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22. 如图1， $▱ A B C D$ 的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.

(1)、求证：四边形 $E F G H$ 为矩形；

(2)、如图2，当 $▱ A B C D$ 为矩形时，
①求证：四边形EFGH为正方形；
②若 $A D = 10$ ，四边形 $E F G H$ 的面积为8，求AB的长.

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23. 如图1，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与一次函数 $y = x - 1$ 的图象相交于A（2，a），B两点.

(1)、求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；

(2)、M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以 $A B$ 为边的平行四边形，求点M的坐标；

(3)、如图2，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为 $m (m > 2)$ ，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接 $A P$ ， $A Q$ ， $B P$ ， $B Q$ .若 $△ A B Q$ 的面积是 $△ A B P$ 的面积的3倍，求m的值.

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24. 电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2021年8月首映，深受人们的喜爱.2022年清明节来临之际某电影院开展“清明祭英烈共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价 $16$ 元，这样按原定票价需花费 $2000$ 元购买的门票张数，现在只花费了 $1200$ 元.

(1)、求每张零售电影票的原定价；

(2)、为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求原定零售票价平均每次的下降率.

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25. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1 ， a)$ ， $(2 ， a - \frac{1}{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

(1)、求k的值；

(2)、将反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象中x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图1所示，新函数记为函数F.
①如图2，直线 $y = x + b$ 与函数F的图象交于A，B两点，点A横坐标为 $x_{1}$ ，点B横坐标为 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ， $x_{1} = 4 x_{2}$ .点P在y轴上，连接AP，BP.当 $A P + B P$ 最小时，求点P的坐标；

②已知一次函数 $y = n x - n + 2 (n \neq 0)$ ）的图象与函数F的图象有三个不同的交点，直接写出n的取值范围.

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26. 【问题背景】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点M，N分别在边 $B C$ ， $A D$ 上，且 $\frac{B M}{M C} = \frac{1}{m}$ ，连接 $B N$ ，点P在 $B N$ 上，连接 $P M$ 并延长至点Q，使 $\frac{P M}{M Q} = \frac{1}{m}$ ，连接 $C Q$ .

(1)、【尝试初探】求证： $C Q ∥ B N$ ；

(2)、【深入探究】若 $A N = B M = A B$ ， $m = 2$ ，点P为 $B N$ 中点，连接 $N C$ ， $N Q$ ，求证： $N C = N Q$ ；

(3)、【拓展延伸】如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点P为对角线 $B D$ 上一点，连接 $P C$ 并延长至点Q，使 $\frac{P C}{Q C} = \frac{1}{n} (n > 1)$ ，连接 $D Q$ ，若 $n^{2} B P^{2} + D Q^{2} = (n^{2} + 1) A B^{2}$ ，求 $\frac{B P}{B D}$ 的值（用含n的代数式表示）

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