备战2023年中考数学细点逐一突破真题训练第9章二次函数几何应用问题

试卷更新日期：2023-03-15 类型：二轮复习

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一、面积、线段最值问题

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)、当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)、在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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2. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 过B、C两点，连接AC ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求证： $△ A O C ∽ △ A C B$ ；

(3)、点 $M (3 ， 2)$ 是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 $D E ⊥ x$ 轴交直线BC于点E ，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 $P D + P M$ 的最小值．

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3. 如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm² ．

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4. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于 $48 m$ ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为 $1.5 m$ ，计划中的建筑材料总长 $45 m$ ，设两间饲养室的宽度为 $x m$ ，总占地面积为 $y m^{2}$ .

(1)、求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

(2)、求饲养室的宽度为多少 $m$ 时，饲养室最大面积多少 $m^{2}$ ？

(3)、若要使两间饲养室合计占地总面积不低于 $189 m^{2}$ ，求饲养室的宽度 $x m$ 的范围.

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二、含角度问题

5. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 2)$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 在第四象限的抛物线上，设 $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{2} =$ $\frac{4}{5}$ $S_{1}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 在抛物线上，当 $∠ M A B = 2 ∠ A C O$ 时，求点 $M$ 的横坐标．

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6. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax²+bx+ $\frac{8}{3}$ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

(1)、求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)、已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的 $\frac{3}{4}$ ，求点R的坐标；

(3)、已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

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7. 综合与探究
如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， - 3)$ ．

(1)、请直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标及直线 $l$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ $(m \geq 0)$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ． $P M$ 与直线 $l$ 交于点 $N$ ，当点 $N$ 是线段 $P M$ 的三等分点时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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三、中心对称图形存在性问题

8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过 $B (3 ， 0)$ ， $D (- 2 ， - \frac{5}{2})$ 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

(1)、求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2)、若点M在直线 $B C$ 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 $△ M B C$ 面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）

(3)、设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

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9. 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

(3)、如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

(4)、如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于 $A (3 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 两点，交y轴于点C ，动点P在抛物线的对称轴上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当以P ， B ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 $△ P B C$ 的周长；

(3)、若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、三角形存在性问题

11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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12. 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $∥$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的关系式；

(2)、若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)、将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)、如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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13. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

(3)、点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由.

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1， $- \frac{8}{3}$ ），与 $x$ 轴交于A、B两点.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 $\frac{A E}{A B}$ 的值.

(3)、点F（0， $y$ ）是 $y$ 轴上一动点，当 $y$ 为何值时， $\frac{\sqrt{5}}{5} F C + B F$ 的值最小.并求出这个最小值.

(4)、点C关于 $x$ 轴的对称点为H，当 $\frac{\sqrt{5}}{5} F C + B F$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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15.
如图，抛物线y=a（x﹣h）²+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．

(3)、上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．

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五、含参问题求定值（数形结合)

16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于除原点 $O$ 和点 $A$ ，且其顶点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(2 ， 1)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 $y = - 2$ 的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交于 $M ， N$ 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， $\frac{1}{M F} + \frac{1}{N F}$ 是定值，并求出该定值；

(3)、点 $C (3 ， m)$ 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 $P ， Q$ ，使四边形 $P Q B C$ 周长最小，直接写出 $P ， Q$ 的坐标．

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17. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x - 3$ （m为常数）.

(1)、求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；

(2)、当 $m \geq 1$ 时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；

(3)、当 $m = 0$ 时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ，直线BD的解析式为 $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求证：直线AB过定点.

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18. 已知点 $A (- 1 ， - 3)$ 在直线 $l ： y = k x - 2$ 上，点 $M (m ， y_{1})$ 是抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 2 (a \neq 0)$ 上一个动点.

(1)、如图，若抛物线与直线l交于点A.
①求a和k的值；
②过点M作y轴的平行线交直线l于点N，当点M在直线l上方的抛物线上运动时，求线段MN长度的最大值及此时点M的坐标；

(2)、点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线与直线 $l$ 在第一象限内的交点，若 $y_{1} \leq y_{2}$ 直接写出 $m$ 的取值范围.

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19. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ 的对称轴为直线x=1.

(1)、求a的值；

(2)、若点M( $x_{1}$ , $y_{1}$ ),N( $x_{2}$ , $y_{2}$ )都在此抛物线上，且-1＜ $x_{1}$ ＜0，1＜ $x_{1}$ ＜2.比较 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

(3)、设直线y=m(m＞0)与抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 交于A、B，与抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ 交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.

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20. 如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

(3)、在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ $\frac{1}{2}$ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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