山西省吕梁市交城县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-03-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若式子 $\sqrt{- 2 + a}$ 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）．

A、 $a \geq - 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a = 2$ D、 $a \neq - 2$

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2. 下列各式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{1.21}$

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3. 下列选项中，能构成等腰直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ， 1 B、3，3，5 C、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ D、3，4， $\sqrt{5}$

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4. 下列运算正确的是（）．

A、 $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ B、 $（ - \sqrt{3})^{2} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{12} - \sqrt{4} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{1 0^{2} - 8^{2}} = \sqrt{10} - \sqrt{8} = 2$

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5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列命题中正确的是（　　）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、邻边相等的平行四边形是正方形 C、矩形的对角线相等且互相垂直 D、正方形的面积等于对角线平方的一半

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8. 如图，A（6，0），B（－4，0），以A为圆心，AB为半径画弧，交 $y$ 轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）

A、（0，8） B、（8，0） C、（0，10） D、（10，0）

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9. 如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝15，AD＝10，点E在BC边上，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，此时点F到CD的距离为1，到AD的距离为3，则AE的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$ 的结果是．

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12. 现有两根长度为2cm和 $\frac{10}{3}$ cm的小棒，要利用这两根小棒作边围成直角三角形，则所需第三根小棒的长可以是cm．

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13. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为．

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14. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝ $2 \sqrt{3}$ ，点E在AB上，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则 $C E^{2} + D E^{2}$ 的值为．

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15. 如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，FG⊥AE交AB于点F，交CD于点G，垂足为O，连接OD．若BE＝1，FG＝ $\sqrt{10}$ ， ∠ODA＝2∠BAE，则OD的长为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{16} \div \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{(- 3)^{2}} + (\sqrt{5} - 2)^{2} + (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$

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17. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a - 2}$ 与 $\sqrt{- a + 16}$ 可以合并．

(1)、求a的值；

(2)、对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y＝ $\frac{\sqrt{x + y}}{x - y}$ ，如：3※2＝ $\frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2}$ ＝ $\sqrt{5}$ ．请求a※[a※（－2）]的值．

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18. 如图，在△ABC中，AB：CB：CA＝3：4：5，且周长为72cm，点M以每秒2cm的速度从A向B运动，点N以每秒3cm的速度从B向C运动，如果两点同时出发，经过4秒时，△BMN的面积为多少？

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB上一点，且∠CDE＝∠DCB．

(1)、求证：AD＝DE；

(2)、请判断BD与CE的数量关系，并说明理由．

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20. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C与点A重合，EF为折痕，点D的对称点为D′，连接CE．

(1)、求证：四边形AFCE是菱形；

(2)、若AB＝3，BC＝9，求四边形ABCD′的面积．

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21. 阅读下面的材料，并解决问题．
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$

(1)、观察上式并填空： $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$ ＝；

(2)、观察上述规律并猜想：当n是正整数时： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ＝（用含 $n$ 的式子表示）

(3)、请利用（2）的结论计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{361} + \sqrt{360}}) \times (\sqrt{361} + 1)$

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22.

(1)、图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．

(2)、如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．

(3)、应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．

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23. 如图1，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，点E是OA的中点，点F是OC的中点，连接BE，DE，BF，DF．

(1)、求证：四边形BEDF为平行四边形；

(2)、如图2，延长BE到点G使EG＝BE，连接DG，请判断四边形EGDF是什么特殊四边形？并说明你的理由；

(3)、请在图2中连接BF，GF，试探究当∠AOB的大小满足什么条件时，BF＝GF？请说明你的理由．

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